基礎知識

複數表示

C = R + jI

極座標：C = |C|(cosθ + jsinθ)

尤拉公式：C = |C|e^jθ

有關更多的時域與複頻域的知識可以學習複變函式與積分變換，本篇文章只給出DFT公式，性質，以及實現方法

二維離散傅立葉變換(DFT)

其中f(x,y)為原影象，F(u,v)為傅立葉變換以後的結果，根據尤拉公式可得，每個F(u,v)值都為複數，由實部和虛部組成

程式碼示例

 1 void dft(short** in_array, double** re_array, double** im_array, long height, long
 
 width)
 2 {
 3     double re, im, temp;
 4 
 5     for (int i = 0; i < height; i++){
 6         for (int j = 0; j < width; j++){
 7             re = 0;
 8             im = 0;
 9 
10             for (int x = 0; x < height; x++){
11                 for (int y = 0; y < width; y++){
12                     temp = (double
 
)i * x / (double)height + 
13                            (double)j * y / (double)width;
14                     re += in_array[x][y] * cos(-2 * pi * temp);
15                     im += in_array[x][y] * sin(-2 * pi * temp);
16                 }
17             }
18             
19             re_array[i][j] = re;
 
20             im_array[i][j] = im;
21         }
22     }
23     printf("dft done\n");
24 }

傅立葉譜

相角

功率譜

傅立葉變換頻譜圖

對於上面得兩幅圖案，在區間[0, M-1]中，變換資料由兩個在點M/2處碰面的背靠背的半個週期組成

針對顯示和濾波的目的，在該區間中有一個完整的變換週期更加方便，因為完整週期中資料是連續的

我們希望得到上圖所示的圖案

傅立葉變換的平移性質

因此對每個f(x, y)項乘以(-1)^x+y可達目的

程式碼示例

 1 void fre_spectrum(short **in_array, short **out_array, long height, long width)
 2 {
 3     double re, im, temp;
 4     int move;
 5 
 6     for (int i = 0; i < height; i++){
 7         for (int j = 0; j < width; j++){
 8             re = 0;
 9             im = 0;
10 
11             for (int x = 0; x < height; x++){
12                 for (int y = 0; y < width; y++){
13                     temp = (double)i * x / (double)height + 
14                            (double)j * y / (double)width;
15                     move = (x + y) % 2 == 0 ? 1 : -1;
16                     re += in_array[x][y] * cos(-2 * pi * temp) * move;
17                     im += in_array[x][y] * sin(-2 * pi * temp) * move;
18                 }
19             }
20             
21             out_array[i][j] = (short)(sqrt(re*re + im*im) / sqrt(width*height));
22             if (out_array[i][j] > 0xff)
23                 out_array[i][j] = 0xff;
24             else if (out_array[i][j] < 0)
25                 out_array[i][j] = 0;
26  27         }
28     }
29 }

執行結果

旋轉性質

即f(x, y)旋轉一個角度，F(u, v)旋轉相同的角度

 二維離散傅立葉反變換

程式碼示例

 1 void idft(double** re_array, double** im_array, short** out_array, long height, long width)
 2 {
 3     double real, temp;
 4 
 5     for (int i = 0; i < height; i++){
 6         for (int j = 0; j < width; j++){
 7             real = 0;
 8 
 9             for (int x = 0; x < height; x++){
10                 for (int y = 0; y < width; y++){
11                     temp = (double)i * x / (double)height + 
12                            (double)j * y / (double)width;
13 
14                     real += re_array[x][y] * cos(2 * pi * temp) -
15                             im_array[x][y] * sin(2 * pi * temp);
16                 }
17             }
18             
19             out_array[i][j] = (short)(real / sqrt(width*height));
20             if (out_array[i][j] > 0xff)
21                 out_array[i][j] = 0xff;
22             else if (out_array[i][j] < 0)
23                 out_array[i][j] = 0;
24         }
25     }
26     printf("idft done\n");
27 }

經驗證，影象經傅立葉變換，然後再反變換以後可恢復原圖

改進

本篇文章只是按照二維離散傅立葉變換公式進行了實現，在測試的過程中發現，執行速度真的是非常慢，演算法時間複雜度O(n⁴)，等以後有時間再對這段程式碼進行優化。