題意

給定 \(n\) 個區間，必須去掉其中的 \(K\) 個，詢問能夠保留的區間並的最大值。

\(n \leq 10^5\ ,K \leq 100\) 。

分析

• 定義狀態 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 個區間中去掉了 \(j\) 個且強制選 \(i\)，最多能夠得到多大的區間並。

• 轉移比較顯然： \(f_{i,j}=\max_{k=i-j-1}^{i-1}\{f_{k,j-(i-k-1)}+val(k,i)\}\) , \(val(k,i)\) 表示 \(i\) 不和 \(k\) 交的部分。

• 根據 \(j-(i-x-1)=k\) 可以得到 \(j-i+x+1=k\)

  ，即 \(i-j-1=x-k\) ，\(x\) 表示轉移位置。

• 所以對於轉移可以搞到一個 \(i -j\) 的位置並用單調佇列位置維護最優轉移。

• 總時間複雜度為 \(O(nk)\) 。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e5 + 7;
int n,K,ans;
int f[N][104],gg[N];
struct data{
    int l,r;
    bool operator <(const data &rhs)const{
        if(l!=rhs.l) return l<rhs.l;
        return r>rhs.r;
    }
}v[N],b[N];
struct node{int id,val;};deque<node>q[N];
int main(){
    n=gi(),K=gi();
    rep(i,1,n) v[i].l=gi(),v[i].r=gi();
    sort(v+1,v+1+n);
    int ndc=0,lst=-1;
    rep(i,1,n){
        if(v[i].r>lst) b[++ndc]=v[i],lst=v[i].r;
        else K--;
    }
    if(K<0) K=0;
    rep(i,1,ndc){
        rep(j,0,min(i-1,K)){
            int p=i-j-1;
            for(;!q[p].empty()&&b[q[p].front().id].r<b[i].l;q[p].pop_front())
                Max(gg[p],q[p].front().val+b[q[p].front().id].r);
                
            Max(f[i][j],gg[p]+b[i].r-b[i].l);
            if(!q[p].empty())
            Max(f[i][j],q[p].front().val+b[i].r);
            int val=f[i][j]-b[i].r;
            p=i-j;
            for(;!q[p].empty()&&q[p].back().val<=val;q[p].pop_back());
            q[p].push_back((node){i,val});
        }
    }
    rep(i,1,ndc)
    rep(j,0,min(i-1,K)) if(ndc-i+j==K) Max(ans,f[i][j]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}