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一、排列(在乎順序)

全排列：P(n,n)=n!

n個人都排隊。第一個位置可以選n個，第二位置可以選n-1個，以此類推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!

部分排列：P(n,m)=n!/(n-m)!

n個人，選m個出來排隊，第一個位置可以選n個，…，最後一個可以選n-m+1個，以此類推得：P(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!。

二、組合(不在乎順序)

n個人，選m個人出來。

因為不在乎順序，所以按排列算的話，每個組合被選到之後還要排列，是被算了m!遍的。即C(n,m)*m!=P(n,m)

故而得：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)

有兩條性質：

1、C(n,m)=C(n,n-m)。就是說 從n個裡面選m個 跟 從n個裡面選n-m個出來不選它 是一樣的。

2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。遞推式..

從n個裡面選m個出來的方案=從n-1個裡面選m個的方案(即不選第n個) + 從n-1個裡面選m-1個的方案(即選第n個)

三、圓排列

圓排：Q(n,n)=（n-1)!

n個人坐成一圈有多少種坐法。

想想坐成一圈後，分別以每個位置為頭斷開，可以排成一個序列，就是將n個人全排列中的一種。這樣可以得到n個序列，但是在圓排中是視為同一種坐法的。所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)/n=n!/n=(n-1)!

部分圓排：Q(n,m)=P(n,m)/m=n!/(m*(n-m)!)

推導類似

四、重複排列(有限個)：n!/(a1!*a2!*…*ak!)

k種不一樣的球，每種球的個數分別是a1,a2,...ak,設n=a1+a2+…+ak，求這n個球的全排列數。

把每種球重複的除掉就好了。假如第一種球有a1個，那麼看成都是不一樣的話就有a1!種排列方法，然而它們都是一樣的，就是說重複了a1!次。其它的一樣，所以重複排列的公式就是n!/(a1!*a2!*…*ak!)

五、重複組合(無限個)：C(n+k-1,k)

n種不一樣的球，每種球的個數是無限的，從中選k個出來的方案數。

看了幾種證法，寫兩種吧。

證明1：這個是比較常見的。。然而我不是特別懂為什麼可以。。

給這n個球編號為1~n，選出來k個。

設為1≤a1≤a2≤a3≤...≤ak≤n，因為是組合，排下序也沒什麼關係。

可能重複，所以有等號。但是普通的組合是沒有等號的，所以要把等號想辦法去掉。

於是設bi=ai+i-1。[為什麼可以加，這樣還表示編號嗎?

這樣就保證了{b}都是不一樣的。

故得1<b1<b2<...<bk<n+k-1

即相當於從n+k-1個球中選k個出來，為C(n+k-1,k).

證明2：轉化為隔板法啊很機智！看這個看懂了！

選出來了k個球，我們就設本來就有n+k個，而這n+k個球只有n種不同的種類，就=把這n+k個球分進不同的n個盒子裡，但保證每個盒子不為空=把n+k個數分成不為空的n塊=在n+k-1個間隔中放n-1個隔板(來分)。即C(n+k-1,n-1)=C(n+k-1,k)，（根據性質1。

六、不相鄰組合：C(n-k+1,k)

1~n這n個自然數中選k個，這k個數中任何兩個數不相鄰數的組合有多少種。

好像可以跟上面證明1的證法一樣來證，但是我並不會= =。

所以下面的證明是來自hyc大學霸的：

一開始先假設選出來的k個數沒有取到1和n，那麼就相當於把n-k個數分成了k+1份（因為要求要不相鄰~）。但是我們是可以選1和n的，所以給兩邊各補上一位(隨便補啦，按順序的話就是0跟n+1咯)，這樣選出來的k個數都在1~n中，就相當於把n-k+2個數分成了k+1份。即在(n-k+2)-1個間隔中放k個隔板！就是C(n-k+1,k)。

七、錯排(錯位排列)：dn=(n-1)*(dn-1 + dn-2)，n≥3

↑是個遞推式。我只會遞推式，，好像也只有遞推式。。

（同時也有，dn=n*dn-1 + (-1)^n。沒深入探討和背過這個orz

問題相當於，有n個人編號為1~n，住在1~n號房間，要求每個人的編號與其房間號不同，問有多少種排列方法。

於是這個怎麼推導的呢？先寫成：dn=(n-1)*dn-1 + (n-1)*dn-2。

假如說一開始第i個人住在第i號房間。

①令n-1個人錯排後，第n個人與其中的一個i互換房間，即n住在i錯排後住的房間，i去住第n號房間。滿足要求啊。因為n可以和n-1個人換房間，所以有(n-1)*dn-1種方法。

②n選擇跟一個人換房間，即n住第i號房，i住第n號房，讓剩下的n-2個人自己去搞一次錯排。同樣的，n可以有n-1種選擇，這就有(n-1)*dn-2種方法。跟上一種方式是不一樣的哦！

故遞推關係就是dn=(n-1)*(dn-1 + dn-2)

錯位排列數列為 0，1，2，9，44，265，……

八、stirling數(斯特林數)

第一類stirling數：S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m).

n個不同元素構成m個圓排列

①n-1個元素構成了m-1個圓排，第n個單獨成一個圓排：S(n-1,m-1)。

②n-1個元素構成m個圓排，將第n個元素插在任一個元素的左邊：(n-1)*S(n-1,m)。

故遞推關係就是S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m)。

第二類stirling數：S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m).

n個不同元素構成m個非空的(無差別)集合

①n-1個元素構成了m-1個集合，第n個單獨成一個集合：S(n-1,m-1)。

②n-1個元素構成m個集合，第n個放進任一個集合裡：m*S(n-1,m)。

故遞推關係就是S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)。

有些性質啊S(n,0)、S(n,1)、S(n,n)等等為一些常數的，可以自己想到的！

九、Catalan數(卡特蘭數)

通項式：Hn=C(2n,n)/(n+1)=(2n)!/( (n+1)!*n!)

組合公式：Hn=C(2n,n)-C(2n,n-1)

遞迴公式：

這個有很多人寫我就不詳細寫啦~

有很多很有用的應用！而那些應用為什麼可以用卡特蘭數來解跟這些↑式子有很大聯絡。

放些感覺比較全&有點證明/推導的連結(可能他們也是轉的orz)：

http://www.360doc.com/content/14/1001/00/9482_413586206.shtml

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858

http://blog.csdn.net/lidiyang1993/article/details/45191221