高斯型求積公式 勒讓德、拉蓋爾、切比雪夫
Gauss型求積公式
若機械求積公式具有階代數精度，則稱為Gauss型求積公式，而在上關於權函式的次正交多項式的零點就是Gauss型求積公式的Gauss點。
在Gauss型求積公式中，若權函式，區間為，則公式為
特別的稱為Gauss-Legendre公式。下表列出Gauss-Legendre公式的結點和係數。
| 0 |
0.0000000 |
2.0000000 |
3 |
±0.8611361 ±0.3399810 |
0.3478548 0.6521452 |
| 1 |
±0.5773503 |
1.000000 |
4 |
±0.9061798 ±0.5384693 0.000000 |
0.2369269 0.4786287 0.5688889 |
| 2 |
±0.7745967 0.000000 |
0.5555556 0.8888889 |
5 |
±0.9324695 ±0.6612094 ±0.2386192 |
0.1713245 0.3607618 0.4679139 |
當積分割槽間是一般的區間時，只要做變換
可將公式轉換為
對等式右端積分使用Gauss-Legendre公式即可。
Matlab程式碼如下：
function I = IntGaussLegen(f,a,b,n,AK,XK)
%
syms t;
t= findsym(sym(f));
if(n<5 && nargin == 4)
AK = 0;
XK = 0;
else
XK1=((b-a)/2)*XK+((a+b)/2);
I=((b-a)/2)*sum(AK.*subs(sym(f),findsym(f),XK1));
end
ta = (b-a)/2;
tb = (a+b)/2;
switch n
case 0,
I=2*ta*subs(sym(f),t,tb);
case 1,
I=ta*(subs(sym(f),t,ta*0.5773503+tb)+...
subs(sym(f),t,-ta*0.5773503+tb));
case 2,
I=ta*(0.55555556*subs(sym(f),t,ta*0.7745967+tb)+...
0.55555556*subs(sym(f),t,-ta*0.7745967+tb)+...
0.88888889*subs(sym(f),t,tb));
case 3,
I=ta*(0.3478548*subs(sym(f),t,ta*0.8611363+tb)+...
0.3478548*subs(sym(f),t,-ta*0.8611363+tb)+...
0.6521452*subs(sym(f),t,ta*0.3398810+tb) +...
0.6521452*subs(sym(f),t,-ta*0.3398810+tb));
case 4,
I=ta*(0.2369269*subs(sym(f),t,ta*0.9061793+tb)+...
0.2369269*subs(sym(f),t,-ta*0.9061793+tb)+...
0.4786287*subs(sym(f),t,ta*0.5384693+tb) +...
0.4786287*subs(sym(f),t,-ta*0.5384693+tb)+...
0.5688889*subs(sym(f),t,tb));
case 5,
I=ta*(0.1713245*subs(sym(f),t,ta*0.9324695+tb)+...
0.1713245*subs(sym(f),t,-ta*0.9324695+tb)+...
0.3607616*subs(sym(f),t,ta*0.6612094+tb)+...
0.3607616*subs(sym(f),t,-ta*0.6612094+tb)+...
0.4679139*subs(sym(f),t,ta*0.2386292+tb)+...
0.4679139*subs(sym(f),t,-*0.2386292+tb));
end
若求積區間為，權函式為，則所建立的Gauss型求積公式為
稱為Gauss-Chebyshev公式。其中結點為次Chebyshev多項式的零點，公式可記為
若求積區間為，權函式為，則所建立的Gauss型求積公式為
稱為Gauss-Lagurre公式。其中結點為次Lagurre多項式的零點，下表列出Gauss-Lagurre公式的結點和係數。
| 0 |
1.0000000 |
1.0000000 |
|
0.2635603 1.4134031 |
0.52175556 0.3986668 |
| 1 |
0.5857864 3.4142135 |
0.8535533 0.1464466 |
4 |
3.5964258 7.0858100 12.6408008 |
0.0759425 0.00361176 0.00002337 |
| 2 |
0.4157746 2.2942804 6.2899451 |
0.7110930 0.2785177 0.0103893 |
5 |
0.2228466 1.1889321 2.9927363 |
0.4589647 0.4170008 0.1133734 |
| 3 |
0.3225477 1.7457611 4.5366203 9.3950710 |
0.6031541 0.3574187 0.0388879 0.0005393 |
|
5.7751436 9.8374674 15.9828740 |
0.1039920 0.000261017 0.0000008985 |