如題：n個小球放到m個盒子裡的方案數

1、球相同，盒子不同，不允許空

分成m段，n-1個空選m-1個放隔板 ， $C_{n-1}^m$

2、球相同，盒子不同，允許空

(1) 加入m個球變成不允許空（假設m個盒子先每個都放1個球）
(2) m-1個隔板和球放在一起，從中選m-1個做隔板， $C_n^{}$

3、球相同，盒子相同，不允許空

就是整數劃分問題啊…n個數寫成m個數的和的形式的方案數
f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−j][j]

有1的話就是f[i−1][j−1]，沒有1的話就拿出j個1先放上再分剩下的，f[i−j][j]

4、球相同，盒子相同，允許空

$\sum_{j=1}^mf[n][j]$

5、球不同，盒子相同，不允許空

第二類Stirling數：n個不同的元素分成m個集合的方案數 $S(n,m)$
S(i,j)=S(i−1,j−1)+S(i−1,j)∗j，S(n,n)=1n≥0, S(n,0)=0,n≥1

考慮一個元素可以放入一個空集合或者已經有元素的集合(j種選擇)

6、球不同，盒子相同，允許空

列舉非空盒子數量
$\sum_{j=1}^mS(n,j)$

7、球不同，盒子不同，不允許空

盒子全排列標號就行了
$S(n,m)∗m!$

8、球不同，盒子不同，允許空

不能簡單的全排列標號，因為空盒子標號沒有意義
所以列舉非空盒子數量的時候乘上個組合數和全排列標號
$\sum_{j=1}^mS(n,j)*A(m,j)$，其中A是排列 $A(m,j)=C(m,j)*j!$