TopK，是問得比較多的幾個問題之一，到底有幾種方法，這些方案裡蘊含的優化思路究竟是怎麼樣的，今天和大家聊一聊。

問題描述：

從arr[1, n]這n個數中，找出最大的k個數，這就是經典的TopK問題。

栗子：

從arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 這n=12個數中，找出最大的k=5個。

 

一、排序

排序是最容易想到的方法，將n個數排序之後，取出最大的k個，即為所得。

 

虛擬碼：

sort(arr, 1, n);

return arr[1, k];

 

時間複雜度

：O(n*lg(n))
 

分析：明明只需要TopK，卻將全域性都排序了，這也是這個方法複雜度非常高的原因。那能不能不全域性排序，而只區域性排序呢？這就引出了第二個優化方法。

 

二、區域性排序

不再全域性排序，只對最大的k個排序。

冒泡是一個很常見的排序方法，每冒一個泡，找出最大值，冒k個泡，就得到TopK。

 

虛擬碼：

for(i=1 to k){

         bubble_find_max(arr,i);

}

return arr[1, k];

 

時間複雜度：O(n*k)

 

分析：冒泡，將全域性排序優化為了區域性排序，非TopK的元素是不需要排序的，節省了計算資源。不少朋友會想到，需求是TopK，是不是這最大的k個元素也不需要排序呢？這就引出了第三個優化方法。

 

三、堆

思路：只找到TopK，不排序TopK。

先用前k個元素生成一個小頂堆，這個小頂堆用於儲存，當前最大的k個元素。

 

接著，從第k+1個元素開始掃描，和堆頂（堆中最小的元素）比較，如果被掃描的元素大於堆頂，則替換堆頂的元素，並調整堆，以保證堆內的k個元素，總是當前最大的k個元素。

 

直到，掃描完所有n-k個元素，最終堆中的k個元素，就是猥瑣求的TopK。

 

虛擬碼：

heap[k] = make_heap(arr[1, k]);

for(i=k+1 to n){

         adjust_heap(heep[k],arr[i]);

}

return heap[k];

 

時間複雜度：O(n*lg(k))

畫外音：n個元素掃一遍，假設運氣很差，每次都入堆調整，調整時間複雜度為堆的高度，即lg(k)，故整體時間複雜度是n*lg(k)。

 

分析：堆，將冒泡的TopK排序優化為了TopK不排序，節省了計算資源。堆，是求TopK的經典演算法，那還有沒有更快的方案呢？

 

四、隨機選擇

隨機選擇算在是《演算法導論》中一個經典的演算法，其時間複雜度為O(n)，是一個線性複雜度的方法。

 

這個方法並不是所有同學都知道，為了將演算法講透，先聊一些前序知識，一個所有程式設計師都應該爛熟於胸的經典演算法：快速排序。

畫外音：

（1）如果有朋友說，“不知道快速排序，也不妨礙我寫業務程式碼呀”…額...

（2）除非校招，我在面試過程中從不問快速排序，預設所有工程師都知道；

 

其虛擬碼是：

void quick_sort(int[]arr, int low, inthigh){

         if(low== high) return;

         int i = partition(arr, low, high);

         quick_sort(arr, low, i-1);

         quick_sort(arr, i+1, high);

}

 

其核心演算法思想是，分治法。

 

分治法（Divide&Conquer），把一個大的問題，轉化為若干個子問題（Divide），每個子問題“都”解決，大的問題便隨之解決（Conquer）。這裡的關鍵詞是“都”。從虛擬碼裡可以看到，快速排序遞迴時，先通過partition把陣列分隔為兩個部分，兩個部分“都”要再次遞迴。

 

分治法有一個特例，叫減治法。

 

減治法（Reduce&Conquer），把一個大的問題，轉化為若干個子問題（Reduce），這些子問題中“只”解決一個，大的問題便隨之解決（Conquer）。這裡的關鍵詞是“只”。

 

二分查詢binary_search，BS，是一個典型的運用減治法思想的演算法，其虛擬碼是：

int BS(int[]arr, int low, inthigh, int target){

         if(low> high) return -1;

         mid= (low+high)/2;

         if(arr[mid]== target) return mid;

         if(arr[mid]> target)

                   return BS(arr, low, mid-1, target);

         else

                   return BS(arr, mid+1, high, target);

}

 

從虛擬碼可以看到，二分查詢，一個大的問題，可以用一個mid元素，分成左半區，右半區兩個子問題。而左右兩個子問題，只需要解決其中一個，遞迴一次，就能夠解決二分查詢全域性的問題。

 

通過分治法與減治法的描述，可以發現，分治法的複雜度一般來說是大於減治法的：

快速排序：O(n*lg(n))

二分查詢：O(lg(n))

 

話題收回來，快速排序的核心是：

i = partition(arr, low, high);

 

這個partition是幹嘛的呢？

顧名思義，partition會把整體分為兩個部分。

更具體的，會用陣列arr中的一個元素（預設是第一個元素t=arr[low]）為劃分依據，將資料arr[low, high]劃分成左右兩個子陣列：

• 左半部分，都比t大

• 右半部分，都比t小

• 中間位置i是劃分元素

以上述TopK的陣列為例，先用第一個元素t=arr[low]為劃分依據，掃描一遍陣列，把陣列分成了兩個半區：

• 左半區比t大

• 右半區比t小

• 中間是t

partition返回的是t最終的位置i。

 

很容易知道，partition的時間複雜度是O(n)。

畫外音：把整個陣列掃一遍，比t大的放左邊，比t小的放右邊，最後t放在中間N[i]。

 

partition和TopK問題有什麼關係呢？

TopK是希望求出arr[1,n]中最大的k個數，那如果找到了第k大的數，做一次partition，不就一次性找到最大的k個數了麼？

畫外音：即partition後左半區的k個數。

 

問題變成了arr[1, n]中找到第k大的數。

 

再回過頭來看看第一次partition，劃分之後：

i = partition(arr, 1, n);

• 如果i大於k，則說明arr[i]左邊的元素都大於k，於是只遞迴arr[1, i-1]裡第k大的元素即可；

• 如果i小於k，則說明說明第k大的元素在arr[i]的右邊，於是只遞迴arr[i+1, n]裡第k-i大的元素即可；

畫外音：這一段非常重要，多讀幾遍。

 

這就是隨機選擇演算法randomized_select，RS，其虛擬碼如下：

int RS(arr, low, high, k){

  if(low== high) return arr[low];

  i= partition(arr, low, high);

  temp= i-low; //陣列前半部分元素個數

  if(temp>=k)

      return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大

  else

      return RS(arr, i+1, high, k-i); //求後半部分第k-i大

}

 

這是一個典型的減治演算法，遞迴內的兩個分支，最終只會執行一個，它的時間複雜度是O(n)。

 

再次強調一下：

• 分治法，大問題分解為小問題，小問題都要遞迴各個分支，例如：快速排序

• 減治法，大問題分解為小問題，小問題只要遞迴一個分支，例如：二分查詢，隨機選擇

 

通過隨機選擇（randomized_select），找到arr[1, n]中第k大的數，再進行一次partition，就能得到TopK的結果。

 

五、總結

TopK，不難；其思路優化過程，不簡單：

• 全域性排序，O(n*lg(n))

• 區域性排序，只排序TopK個數，O(n*k)

• 堆，TopK個數也不排序了，O(n*lg(k))

• 分治法，每個分支“都要”遞迴，例如：快速排序，O(n*lg(n))

• 減治法，“只要”遞迴一個分支，例如：二分查詢O(lg(n))，隨機選擇O(n)

• TopK的另一個解法：隨機選擇+partition

 

知其然，知其所以然。

思路比結論重要。

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