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圖解排序算法之堆排序

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堆排序

  堆排序是利用這種數據結構而設計的一種排序算法,堆排序是一種選擇排序,它的最壞,最好,平均時間復雜度均為O(nlogn),它也是不穩定排序。首先簡單了解下堆結構。

  堆是具有以下性質的完全二叉樹:每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值,稱為大頂堆;或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值,稱為小頂堆。如下圖:

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同時,我們對堆中的結點按層進行編號,將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

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該數組從邏輯上講就是一個堆結構,我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是:

大頂堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小頂堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

ok,了解了這些定義。接下來,我們來看看堆排序的基本思想及基本步驟:

堆排序基本思想及步驟

  堆排序的基本思想是:將待排序序列構造成一個大頂堆,此時,整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換,此時末尾就為最大值。然後將剩余n-1個元素重新構造成一個堆,這樣會得到n個元素的次小值。如此反復執行,便能得到一個有序序列了

步驟一 構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆(一般升序采用大頂堆,降序采用小頂堆)。

  a.假設給定無序序列結構如下

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2.此時我們從最後一個非葉子結點開始(葉結點自然不用調整,第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6結點),從左至右,從下至上進行調整。

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4.找到第二個非葉節點4,由於[4,9,8]中9元素最大,4和9交換。

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這時,交換導致了子根[4,5,6]結構混亂,繼續調整,[4,5,6]中6最大,交換4和6。

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此時,我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。

步驟二 將堆頂元素與末尾元素進行交換,使末尾元素最大。然後繼續調整堆,再將堆頂元素與末尾元素交換,得到第二大元素。如此反復進行交換、重建、交換。

a.將堆頂元素9和末尾元素4進行交換

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b.重新調整結構,使其繼續滿足堆定義

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c.再將堆頂元素8與末尾元素5進行交換,得到第二大元素8.

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後續過程,繼續進行調整,交換,如此反復進行,最終使得整個序列有序

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再簡單總結下堆排序的基本思路:

  a.將無需序列構建成一個堆,根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;

  b.將堆頂元素與末尾元素交換,將最大元素"沈"到數組末端;

  c.重新調整結構,使其滿足堆定義,然後繼續交換堆頂元素與當前末尾元素,反復執行調整+交換步驟,直到整個序列有序。

代碼實現

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package sortdemo;

import java.util.Arrays;

/**
 * Created by chengxiao on 2016/12/17.
 * 堆排序demo
 */
public class HeapSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    public static void sort(int []arr){
        //1.構建大頂堆
        for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
            //從第一個非葉子結點從下至上,從右至左調整結構
            adjustHeap(arr,i,arr.length);
        }
        //2.調整堆結構+交換堆頂元素與末尾元素
        for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
            swap(arr,0,j);//將堆頂元素與末尾元素進行交換
            adjustHeap(arr,0,j);//重新對堆進行調整
        }

    }

    /**
     * 調整大頂堆(僅是調整過程,建立在大頂堆已構建的基礎上)
     * @param arr
     * @param i
     * @param length
     */
    public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
        int temp = arr[i];//先取出當前元素i
        for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//從i結點的左子結點開始,也就是2i+1處開始
            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子結點小於右子結點,k指向右子結點
                k++;
            }
            if(arr[k] >temp){//如果子節點大於父節點,將子節點值賦給父節點(不用進行交換)
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            }else{
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;//將temp值放到最終的位置
    }

    /**
     * 交換元素
     * @param arr
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void swap(int []arr,int a ,int b){
        int temp=arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
}
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結果

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

最後

  堆排序是一種選擇排序,整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素並重建堆兩部分組成。其中構建初始堆經推導復雜度為O(n),在交換並重建堆的過程中,需交換n-1次,而重建堆的過程中,根據完全二叉樹的性質,[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步遞減,近似為nlogn。所以堆排序時間復雜度一般認為就是O(nlogn)級。

作者: dreamcatcher-cx

出處: <http://www.cnblogs.com/chengxiao/>

圖解排序算法之堆排序