1. 二維向量

在二維平面中，一個二維向量可以用一個箭頭來表示，這個箭頭起始於原點，終點座標 $(x, y)$ 分別為向量中的兩個元素，而 $c$

2. 三維向量

三維向量和二維向量類似，可以表示為三維平面中的一個箭頭，只不過座標變成了 $(x$

針對三維向量 $\boldsymbol{u}$， $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{w}$，有

• 所有 $c\boldsymbol{u}$ 的組合會填滿一條直線
• 所有 $c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v}$ 的組合會填滿一個平面，如果 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 不在一條直線上
• 所有 $c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{w}$ 的組合會填滿三維空間，如果 $\boldsymbol{w}$ 不在 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 組合成的平面上

3. 長度和點積

兩個向量 $\boldsymbol v=(v_1, v_2)$ 和 $\boldsymbol w=(w_1, w_2)$ 的點積或者內積 $\boldsymbol{v \cdot w}$ 定義為：

$\boldsymbol{v \cdot w} = v_1w_1 + v_2w_2$

如果兩個的向量的點積為零，說明這兩個向量是垂直的，它們之間的角度為 90°。

另一個重要的情況是一個向量和自己點積，這時候點積的結果就是向量長度的平方，或者說向量的長度就等於與自身點積的平方根。

$\boldsymbol{Length}=norm(v)=||v||=\sqrt{v\cdot v}$

單位向量就是向量長度為 1 的向量，也就是 $\boldsymbol{u \cdot u}=1$。 $\boldsymbol{u}=v/||v||$ 是一個和 $\boldsymbol{v}$ 在一個方向上的單位向量。

沿著 $x$ 軸和 $y$ 軸 的單位向量稱為 $\boldsymbol{i}$ 和 $\boldsymbol{j}$，在 $xy$ 平面中，單位向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $x$ 軸構成一個夾角 $\theta$ 。

$\boldsymbol{i} = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}，\boldsymbol{j} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}，\boldsymbol{u} = \begin{bmatrix}cos\theta \\ sin\theta\end{bmatrix}$

當兩個向量之間的角度小於 90° 時，它們的點積大於 0；當兩個向量之間的角度大於 90° 時，它們的點積小於 0；而當兩個向量之間的角度等於 90° 時，它們的點積等於 0。

我們可以直觀地看到這種情況，當這兩個向量分別為單位向量 $\boldsymbol u=(cos\theta, sin\theta)$ 和 $\boldsymbol i=(1, 0)$ 時，這時候 $\boldsymbol{u \cdot i}=cos\theta$， $\theta$ 也就是這兩個向量之間的角度。

當這兩個向量分別旋轉到 $\boldsymbol u=(cos\beta, sin\beta)$ 到 $\boldsymbol i=(cos\alpha, sin\alpha)$ 時，它們的點積為：

$\boldsymbol{u \cdot i} = cos\beta cos\alpha + sin\beta sin\alpha = cos(\beta-\alpha) = cos\theta$

當兩個向量不是單位向量的時候，我們就可以先除以向量的長度把它們變成單位向量，因此，同樣地，就有：

$\frac{\boldsymbol{v \cdot w}}{||v|| \space ||w||} = cos\theta$

因為 $|cos\theta|$不會超過 1，因此我們就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：