LIS的O(nlogn)演算法（二分）

傳送門：點我

O(n^2）解法：（n為4w，TLE）

memset(dp,1,sizeof(dp));
int ans=-1;
for(i=2; i<=n; i++)
{
    for(j=1; j<i; j++)
    {
        if(s[i]>s[j])
            dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
    }
    ans=max(ans,dp[i]);
}
最長上升子序列（LIS）的典型變形，熟悉的n^2的動歸會超時。LIS問題可以優化為nlogn的

演算法。
定義d[k]:長度為k的上升子序列的最末元素，若有多個長度為k的上升子序列，則記錄最小的那個最末元素。
注意d中元素是單調遞增的，下面要用到這個性質。
首先len = 1,d[1] = a[1],然後對a[i]:若a[i]>d[len]，那麼len++，d[len] = a[i];
否則，我們要從d[1]到d[len-1]中找到一個j，滿足d[j-1]<a[i]<d[j],則根據D的定義，我們需要更新長度為j的上升子序列的最末元素（使之為最小的）即 d[j] = a[i];
最終答案就是len
利用d的單調性，在查詢j的時候可以二分查詢，從而時間複雜度為nlogn。

最長上升子序列nlogn演算法

在川大oj上遇到一道題無法用n^2過於是，各種糾結，最後習得nlogn的演算法

最長遞增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我們簡記為 LIS。
排序+LCS演算法 以及 DP演算法就忽略了，這兩個太容易理解了。

假設存在一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5。n
下面一步一步試著找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變數Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int  MAXN=40005;
int arr[MAXN],ans[MAXN],len;
int Binary_search(int i)  
{  
    int l,r,mid;  
    l=0,r=len;  
    while(l<=r)  
    {  
        mid=(l+r)>>1;  
        if(ans[mid]>=arr[i]) r=mid-1;  
        else l=mid+1;  
    }  
    return l;  
}  
int main()
{
    int T,p,i;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&p);
        for(i=1; i<=p; ++i)
            scanf("%d",&arr[i]);
        ans[1] = arr[1];
        len=1;
        for(i=2; i<=p; ++i)
        {
            if(arr[i]>ans[len])//加不加等號根據琴情況判斷
                ans[++len]=arr[i];
            else
            {
                int pos=Binary_search(i);// 如果用STL：int pos=lower_bound(ans+1,ans+len+1,arr[i])-ans;
                ans[pos] = arr[i];
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}