簡述

演算法設計課這周的作業：
趕緊寫了先，不然搞不完了。

文章目錄

• 簡述
• 演算法理論部分
• 變數簡單分析
• 從狀態轉移概率到狀態概率
• 推導
• 理解當溫度收斂到接近0的時候，收斂到結果
• 理論部分的後記
• python實現
• python實現模擬退火解極值
• C++實現解函式值問題
• TSP問題求解
• 程式碼詳細解釋
• 定義了兩個巨集，主要是為了加速運算
• 定義全域性變數
• 函式解釋

演算法理論部分

• 用粒子的排列或相應的能量表示物體所處的狀態，在溫度T下，物體(系統)所處的狀態具有一定的隨機性。主流趨勢是系統向能量較低的狀態發展，但粒子的不規則熱運動妨礙系統準確落入低能狀態。

簡單來說就是，在溫度T下，

有兩種可能

• $f(x_{}$
  i ) ≥ f ( x j )
  f(x_i) \ge f(x_j) ， 那沒得說有更好的肯定選更好的。
• $f(x_i) < f(x_j)$，這個時候我們也有一定的概率選這個。

概率為

$P(X_{i\rightarrow j}) = e^{\frac{f(x_i) - f(x_j)}{KT}}$

其中K為玻爾茲曼常數（在這個演算法上，我們經常使用數值1代替這個）

• $K>0$，一般設定為 $K=1$
• $T > 0$，我們在遞減的過程中，終止的T，一般認為是 $T = 1$

變數簡單分析

不難看出，隨著T下降，這個狀態轉移的概率是下降的。

• 原因： $f(x_i) - f(x_j) < 0$

物理上解釋：

• 因為之前的這個轉移概率，認為是，在高溫情況下，分子可能會產生較為不穩定的隨機運動。且溫度越高，這個分子不規則運動的可能是更大的。這是在模擬這個過程。

• 所以，我們稱這個演算法為，模擬退火演算法

從狀態轉移概率到狀態概率

這個分析過程，其實是類似於推理馬爾可夫鏈的過程。

• 之前給給出的 $P(X_{i\rightarrow j})$其實是條件概率。

我們假設第n個狀態為 $X_i$，那麼現在就是考慮下一個狀態的概率。

$P(s_{n+1} = X_j| s_n =X_i) = P(X_{i\rightarrow j})= e^{\frac{f(x_i) - f(x_j)}{KT}}$

我們用 $s_n$，表示第n個狀態。

用條件概率公式得到

$P(s_{n+1} = X_j| s_n =X_i) = \frac{P(s_{n+1} = X_j, s_n =X_i)}{P(s_n =X_i)}$

$P(s_{n+1} = X_j, s_n =X_i) = P(s_n =X_i)* P(s_{n+1} = X_j| s_n =X_i)$
$P(s_{n+1} = X_j) = \sum_{i}{P(s_n =X_i)* P(s_{n+1} = X_j| s_n =X_i)}$