http://www.cnblogs.com/Dumblidor/p/5760606.html

一、關於逆元

　　（這裡看不懂可以跳過）

　　在群論中有“逆元”這一概念。

　　提到逆元就要提到另一個概念：單位元（么元，Identity）。

　　我們依次來介紹，簡單來說，設G是一個非空集合，@是它的二元運算，若存在e∈G ，對任意a∈G，有[email protected][email protected]=a，則稱e為單位元

　　舉個例子，在實數集合的乘法運算中，1就是單位元，因為任何實數乘上1都等於它自己。

　　什麼是逆元呢？

　　設a∈G，若存在b∈G，且ab=e，則稱b是a的右逆元，若ba=e，則稱b是a的左逆元，若ab=ba=e，則稱b是a的逆元

　　舉個例子：在實數集合的乘法運算中，1是單位元，任意實數a的逆元是1/a；在實數集合的加法運算中，0是單位元，任意實數a的逆元是-a。

　　接下來，我們來探討一下矩陣中的逆元與單位元

二、單位矩陣

　　我們現在看看矩陣的單位元（單位矩陣）

　　對於一個n階方陣（行數等於列數的矩陣叫做方陣），若其主對角線上的元素都是1，其他地方的元素都為0，則稱該矩陣為n階單位矩陣，用In或En表示（有時也簡寫為I或E，在後面的文章中我們統一用I表示單位陣）

　　如圖是一個三階單位矩陣I3=

　　單位陣的性質是任何矩陣乘上它都等於原矩陣，即AI=A,IA=A。

三、逆矩陣

　1.概念

　　設有一個方陣A，若存在一個方陣B，使得AB=I或BA=I，則稱B是A的逆矩陣，用A-1表示（事實上若AB=I,則必有BA=I）。

　　注意：並不是所有矩陣都有逆矩陣。

　2.求逆矩陣（高斯-若爾當消元法）

　　設一個方陣A，我們已經知道，若其存在逆矩陣A-1，則有A-1A=I。

　　那麼，該如何求得A-1呢？

　　先思考，之前我們提到過，在矩陣左邊乘一個矩陣是對原矩陣作行變換，A-1A=I可以理解為A按照A-1進行變換變成了I，那麼，如果I按照A-1進行變換，得到的是什麼呢？

　　我們寫出兩個等式：

　　A-1A=I

　　A-1I=A-1

　　發現什麼了麼？

　　如果我們對I作與A相同的變換，那麼我們得到的就是A-1

　　還記得之前學過的增廣矩陣麼？

　　我們假設A=，然後我們把單位陣寫在A右邊構成增廣矩陣

　　現在，我們對A進行消元（連帶著變換I）

　　向下消元的步驟就不演示了，消元的結果是

　　經過向下消元我們得到了上三角矩陣，然後，我們再從下往上進行消元，目的是消去除對角線外的所有元素

　　在這裡簡單寫一下步驟：

　　先將-1個第三行與第二行進行線性組合，再將-2個第三行與第一行線性組合，消去第三列多餘元素，得到：

　　然後將-1個第二行與第一行線性組合消去第二列多餘元素，得到

　　現在，我們已經將A變成了I，而右邊的I此時就是A的逆A-1，讀者可以自行驗證一下。

　　用一種簡單的方式表達上面的過程： A-1[A  I] = [I  A-1] 

　　這種方法我們稱之為高斯-若爾當消元法

　3.不存在逆矩陣（不可逆）的情況

　　在這裡討論何種情況下矩陣不可逆。

　　我們對方陣A的行進行線性組合，如果能構成單位陣，則該矩陣可逆，若無論怎樣都構不成單位陣，那麼這個矩陣就不可逆。

　　什麼樣的矩陣無論怎樣都構不成單位陣？

　　回想之前的列影象，如果我們擁有兩個不共線的二維向量，那麼我們可以用它們構成二維平面上的任一向量。

　　但是，如果兩個向量共線，那麼無論怎樣，我們都只能得到與他們共線的向量，就像一條直線無法確定一個平面一樣。

　　好了，回到矩陣，若一個方陣不可逆，則它必定是奇異的（行列式為0），而方陣奇異的條件是方陣中的一個列向量能從其他列向量的線性組合中得到。

　　也許上面的說法沒學到後面的知識很難理解，在這裡給出另一個解釋。

　　如果可以找到一個非零向量X，使得AX=0，則方陣A不可逆（奇異）。

　　反之，如果一個方陣A不可逆，則必可以找到一個非零向量X，使得AX=0。

　　為什麼呢？

　　我們可以用反證法證明：

　　設AX=0，且A可逆。

　　則有I=A-1A

　　有IX=(A-1A)X=A-1(AX)=A-10=0

　　顯然，IX=X≠0

　　所以若AX=0，則A不可逆。

　4.乘積的逆

　　AB(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=I

　　(B-1A-1)AB=B(AA-1)B-1=BB-1=I

　　故：(AB)-1=B-1A-1

　　另：(AT)-1=(A-1)T

四、轉置矩陣

　1.概念

　　何為轉置矩陣？將原矩陣A的行與列交換得到的新矩陣就是轉置矩陣，用AT表示。

　　比如的轉置是，的轉置是