這是一份極其粗糙的莫比烏斯函式學習筆記
這是一份極其粗糙的莫比烏斯函式學習筆記
- 莫比烏斯反演非常巧妙
玄學,它通過__卷積__,和式變換以及最關鍵的整數分塊的有機結合降低了函式的複雜度。
莫比烏斯函式
\(\mu(d)\) 的定義:
1.當d=1時,\(\mu(d)=1\);
2.當d唯一分解後有一個質因數的次數大於1,那麼\(\mu(d)=0\)
3.否則,設n可以分解為n個不同的質數相乘,則\(\mu(d)=(-1)^{n}\)。
一些結論:
1.\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\),也就是說,n=1時函式值為1,否則為0。這個用二項式定理來證
2.對於任意正整數n,\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)
篩莫比烏斯函式可以用線性篩。
莫比烏斯反演
定理:
\[ \begin{align*} &設f(n)=\sum_{d|n}g(d),\\ &則g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)。 \end{align*} \]證明:
\[ \begin{align*} &\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)= \\ &\sum_{d|n}\mu(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)\sum_{i|d}f(i)= \\ &\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \end{align*} \]還有一種理解方式就是用狄利克雷卷積(用*表示)來理解莫比烏斯反演。下面直接給出幾個定理:
設:
1.\(Id(n)=n\)
2.\(\epsilon(n)=[n==1]\)3.\(I(n)=1\)
4.\(\mu 和\phi 就不說了\)。
結論:
1.\(\mu *Id=\epsilon,這就是\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\).
2.\(\mu*Id=\phi\).
這個定理可以用容斥來證明。反過來\(\mu*Id=\phi\Longrightarrow Id=\sum_{d|n}\phi(d)\)。用卷積可以證明這個常見的結論。題目
待會再說。