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這是一份極其粗糙的莫比烏斯函式學習筆記

這是一份極其粗糙的莫比烏斯函式學習筆記

  • 莫比烏斯反演非常巧妙玄學,它通過__卷積__,和式變換以及最關鍵的整數分塊的有機結合降低了函式的複雜度。

莫比烏斯函式

  • \(\mu(d)\) 的定義:

    1.當d=1時,\(\mu(d)=1\)

    2.當d唯一分解後有一個質因數的次數大於1,那麼\(\mu(d)=0\)

    3.否則,設n可以分解為n個不同的質數相乘,則\(\mu(d)=(-1)^{n}\)

  • 一些結論:

    1.\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\),也就是說,n=1時函式值為1,否則為0。這個用二項式定理來證

    2.對於任意正整數n,\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)

    ,證明以後補。

  • 篩莫比烏斯函式可以用線性篩。

莫比烏斯反演

  • 定理:
    \[ \begin{align*} &設f(n)=\sum_{d|n}g(d),\\ &則g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)。 \end{align*} \]

  • 證明:
    \[ \begin{align*} &\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)= \\ &\sum_{d|n}\mu(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)\sum_{i|d}f(i)= \\ &\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \end{align*} \]

  • 還有一種理解方式就是用狄利克雷卷積(用*表示)來理解莫比烏斯反演。下面直接給出幾個定理:

    設:

    1.\(Id(n)=n\)
    2.\(\epsilon(n)=[n==1]\)

    3.\(I(n)=1\)

    4.\(\mu 和\phi 就不說了\)

    結論:

    1.\(\mu *Id=\epsilon,這就是\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\).

    2.\(\mu*Id=\phi\).
    ​ 這個定理可以用容斥來證明。反過來\(\mu*Id=\phi\Longrightarrow Id=\sum_{d|n}\phi(d)\)。用卷積可以證明這個常見的結論。

    題目

    待會再說。