在上一篇文章中，定義了{l|r}這個運算
但是，還有很多的特殊情況沒有考慮過，就比如說，在{L|R}的運算中，L或R為空集怎麼辦，那麼這個這個空集就可以用$\Phi$表示，不過一般可以用不寫任何東西來表示，比如說 |=0 $|$

$*$

定義一個數$*$ = { 0 | 0 }，這個狀態表示先手必勝態，那麼顯然 0 ={ $*$ |

∗ $\ast$$*$ }，這樣一來就成功解覺這個問題了，$*$小於所有正數，大於所有負數，和0無法比較

定義好了$*$，那麼與$*$相關的運算呢，如果$*$與一個正數或負數進行運算，$*$與自己運算也有了定義，那麼$*$與0運算呢，真是神奇，那就還要定義新的東西啦

$↑$ 、 $↓$

$↑$={ 0 | $∗$ }
$↓$={ $∗$ | 0 }
那麼，這個$↑$ 、$↓$與其它數有什麼關係呢
對於$↑$，容易看出$↑$是第一個玩家必勝態，所以$↑$>0，另外呢$↑$又小於每一個正數（有證明，但要用到這種定義下的加法），所以類似於$↑$就好像正無窮小
對於$↓$，容易看出$↓$是第一個玩家必敗態，所以$↓$<0，同樣類似於$↑$，$↓$大於每一個負數，所以$↓$可以近似看作正無窮小

新定義了那麼多東西，{ l | r }的很多運算就差不多解釋完了
總結一下
$左邊的\Phi<負數<↓<0,*<↑正數<右邊的\Phi$
對於運算{ L | R }可以轉化為{max(L)|min(R)}(L，R都是集合)
也就轉化到了{ l | r }的問題了(l,r,都是數)
如果l < r那麼{ l | r }的結果:
若l、r之間有整數,{l|r}=x（l < x < r且x是所有滿足的數中離0最近的整數）
若l、r之間無整數,{l|r}=x/y（l < x/y < r且y=2^k(k是正整數)且y是所有滿足條件的數中最小的數，x是在滿足前面的條件下的可取值中離0最近的整數）
如果l=r=0或者l=r=*
那麼結果是0 = { $*$ | $*$ }，$*$ = { 0 | 0 }
然後另外有如下公式
$↑$={ 0 | $∗$ }
$↓$={ $∗$ | 0 }
知道上述的定義，差不多就能解決所有的這一類的OI題目了，但是考慮${0|↑}$之類的結果是什麼呢，在這裡還無法解釋，理解上述內容其實已經夠用了，但是學一樣東西就要學透，所以在下一篇文章中我會寫到加法運算的定義，當然先理解這篇文章的內容是最重要的，當然我的說法並不一定完全嚴謹，如果有問題敬請提出，記錄（二）到這裡就結束了