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洛谷 P3642
BZOJ 4585
UOJ #205
LOJ #2568

Solution

• NOIP 2018 之後 A 掉的第一道題，祭
• 看上去是水題，但是發現邊權可以減一之後就不是那麼容易了
• 很容易想到狀態： $f\left[u\right][$
  i ] f[u][i] 表示把 $u$ 到子樹內所有葉子的距離都調成 $i$
  i 的最小代價（下面 $len(u,v$
  ) len(u,v) 為邊 $(u,v)$ 的長度）
• $f[u][i]=\sum_{v\in son(u)}\max_{j=0}^i\{f[j]+|len(u,v)-(i-j)|\}$
• 可以大膽猜想 $f[u]$ 是關於 $i$ 的下凸函式
• 假設 $u$ 只有 $v$ 一個子節點
• 設 $i\in[l,r]$ 時 $f[v]$ 取得最小值
• 然後分類討論一下轉移：
• （1） $0\le i\le l$
• 這時候 $j\in[0,i]$ ，最優的方案是把 $(u,v)$ 的邊權改成 $0$
• $f[u][i]=f[v][i]+len(u,v)$
• （2） $l\le i\le l+len(u,v)$
• 這時候最優的方案是把 $(u,v)$ 的邊權改成 $i-l$
• $f[u][i]=f[v][l]+len(u,v)-i+l$
• （3） $l+len(u,v)\le i\le r+len(u,v)$
• 這時候最優的方案是不修改 $(u,v)$ 的邊權
• $f[u][i]=f[v][i-len(u,v)]$
• （4） $i\ge r+len(u,v)$
• 這時候最優的方案是把 $(u,v)$ 的邊權改成 $i-r$
• $f[u][i]=f[v][r]+i-r-len(u,v)$
• 把 $f[u]$ 和 $f[v]$ 看作分段函式，可以發現每個段都是一次的
• 上面四個轉移相當於
• （1）把橫座標 $[0,l]$ 內的直線上移 $len(u,v)$ 個單位
• （2）把橫座標 $[l,r]$ 內的直線右移 $len(u,v)$ 個單位
• （3）在橫座標 $[l,l+len(u,v)]$ 內加入一條斜率為 $-1$ 的直線
• （4）在橫座標 $[r+len(u,v),+\infty]$ 內加入一條斜率為 $1$ 的直線
• 我們考慮維護分段函式的拐點
• 注意到每經過一個拐點，函式的斜率加一
• 對於葉子節點，有兩個拐點 $(0,0)$ $(0,0)$
• 這是一棵樹，處理點 $u$ 時如何將 $u$ 轉移到 $u$ 父親 $fa[u]$ 呢
• 先說：最右端直線的斜率是 u 的子節點數（接下來會證明）
• 用一個大根堆維護拐點橫座標
• 先不斷彈出最右端斜率大於 $1$ 的直線，使得最後一段直線的斜率為 $1$
• 然後把斜率為 $0$ 的直線段對應的兩個拐點右移 $len(u,fa[u])$ 個單位
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