1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比

給定一個大小為 \(m×n\) 的乾淨影象 \(I\) 和噪聲影象 \(K\)，均方誤差 \((MSE)\) 定義為：

\[MSE = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}[I(i, j)-K(i,j)]^2\]

然後 \(PSNR (dB)\) 就定義為：

\[PSNR = 10 \cdot log_{10}(\frac{MAX_I^2}{MSE})\]

其中 \(MAX_I^2\) 為圖片可能的最大畫素值。如果每個畫素都由 8 位二進位制來表示，那麼就為 255。通常，如果畫素值由 \(B\)

一般地，針對 uint8 資料，最大畫素值為 255,；針對浮點型資料，最大畫素值為 1。

上面是針對灰度影象的計算方法，如果是彩色影象，通常有三種方法來計算。

• 分別計算 RGB 三個通道的 PSNR，然後取平均值。
• 計算 RGB 三通道的 MSE ，然後再除以 3 。
• 將圖片轉化為 YCbCr 格式，然後只計算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。

其中，第二和第三種方法比較常見。

# im1 和 im2 都為灰度影象，uint8 型別

# method 1
diff = im1 - im2
mse = np.mean(np.square(diff))
psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)

# method 2
psnr = skimage.measure.compare_psnr(im1, im2, 255)
 

compare_psnr(im_true, im_test, data_range=None) 函式原型可見此處

針對超光譜影象，我們需要針對不同波段分別計算 PSNR，然後取平均值，這個指標稱為 MPSNR。

2. SSIM (Structural SIMilarity) 結構相似性

\(SSIM\) 公式基於樣本 \(x\) 和 \(y\) 之間的三個比較衡量：亮度 (luminance)、對比度 (contrast) 和結構 (structure)。

\[l(x,y) = \frac{2\mu_x \mu_y + c_1}{\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1}\]
\[c(x,y) = \frac{2\sigma_x \sigma_y + c_2}{\sigma_x^2+ \sigma_y^2 + c_2}\]

一般取 \(c_3 = c_2 / 2\)。

• \(\mu_x\) 為 \(x\) 的均值
• \(\mu_y\) 為 \(y\) 的均值
• \(\sigma_x^2\) 為 \(x\) 的方差
• \(\sigma_y^2\) 為 \(y\) 的方差
• \(\sigma_{xy}\) 為 \(x\) 和 \(y\) 的協方差
• \(c_1 = (k_1L)^2, c_2 = (k_2L)^2\) 為兩個常數，避免除零
• \(L\) 為畫素值的範圍，\(2^B-1\)
• \(k_1=0.01, k_2=0.03\) 為預設值

那麼

\[SSIM(x, y) = [l(x,y)^{\alpha} \cdot c(x,y)^{\beta} \cdot s(x,y)^{\gamma}]\]

將 \(\alpha,\beta,\gamma\) 設為 1，可以得到

\[SSIM(x, y) = \frac{(2\mu_x \mu_y + c_1)(2\sigma_{xy}+c_2)}{(\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+c_2)}\]

每次計算的時候都從圖片上取一個 \(N×N\) 的視窗，然後不斷滑動視窗進行計算，最後取平均值作為全域性的 SSIM。

# im1 和 im2 都為灰度影象，uint8 型別
ssim = skimage.measure.compare_ssim(im1, im2, data_range=255)

compare_ssim(X, Y, win_size=None, gradient=False, data_range=None, multichannel=False, gaussian_weights=False, full=False, **kwargs) 函式原型可見此處

針對超光譜影象，我們需要針對不同波段分別計算 SSIM，然後取平均值，這個指標稱為 MSSIM。

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