平衡樹學習筆記（4）-------替罪羊樹
阿新 • • 發佈：2018-11-24
替罪羊樹
替罪羊樹可以說是最暴力的平衡樹
但卻跑的很快
有多暴力？
不是一條鏈影響複雜度嗎？
暴力給你拍到一個vector裡去（沒錯，整棵樹暴力拍扁）
再重新建樹，建出的樹像線段樹那樣二分建來保證平衡
可謂是要多暴力有多暴力
在樹套樹上也有一些優勢
\(\color{#9900ff}{定義}\)
const double eps=0.75; struct node { int val,siz,cov; bool exist; node *ch[2]; void upd() { siz=ch[0]->siz+ch[1]->siz+exist; cov=ch[0]->cov+ch[1]->cov+1; } bool nb(){ return ((ch[0]->cov>cov*eps+5)||(ch[1]->cov>cov*eps+5)); } int rk() { return ch[0]->siz+exist;} };
不同的是，替罪羊樹的刪除不是真正的刪除，只是打個標記罷了
但是，要注意的是，如果被標記（假裝刪除）的點在某個子樹中，而現在要把那個子樹拍扁
則這個點就是真的被刪除了qwq，重構的時候就不再把它加入新樹了，因為沒必要qwq
所以，val記錄權值，siz記錄實際大小，cov記錄節點個數
exist就是標記，判斷此節點是否存在
剛剛說它維護平衡的方式就是拍扁重構
但總不能每次都把所有拍扁重構
條件就是，左/右子樹大小大於自己大小*平衡因子
這個平衡因子也是比較玄學，一般在0.7---0.85即可吧qwq
nb的意思是。。。need-bong，判斷是否需要拍扁，不，是被拍扁QAQ
\(\color{#9900ff}{基本操作}\)
1、travel
travel，顧名思義，旅行
讓樹上的節點去vector旅行qwq（<-----瞎bb）
說難聽點就是被拍扁。。。。。。
不過，為了重構便捷，還記得第一節說的嗎
平衡樹的中序遍歷可是有序的！
所以，按照中序遍歷拍扁，就方便重構了qwq
//vector要傳地址（別告訴我不知道為什麼） void travel(nod o,vector<nod> &v) { //到空節點不用管 if(o==null) return; //中序遍歷左根右 travel(o->ch[0],v); //放進vector之前，判斷是否存在， 不存在就不用管了，真正意義上把它刪除 if(o->exist) v.push_back(o); //else這一行各位陣列dalao可以忽略，它的左右就是回收刪的節點放入記憶體池，節省空間利用 else ts[top++]=o; travel(o->ch[1],v); }
2、divide
別問我為啥叫divide，也許是因為二分建樹吧qwq
nod divide(vector<nod> &v,int l,int r)
{
//二分邊界（因為[l,r)左閉右開）
if(l>=r) return null;
int mid=(l+r)>>1;
//mid給自己，[l,mid-1]給左孩子，[mid+1,r)給右孩子
nod o=v[mid];
o->ch[0]=divide(v,l,mid);
o->ch[1]=divide(v,mid+1,r);
//別忘維護性質
o->upd();
return o;
}3、rebuild
這就是重構，說白了就是把前兩個聯絡在一起
void rebuild(nod &o)
{
static vector<nod> v;
v.clear();
travel(o,v);
//左閉右開不要忘
o=divide(v,0,v.size());
}基本操作已經完成，夠暴力吧qwq
\(\color{#9900ff}{其它操作}\)
1、插入
由於涉及遞迴，而且有些不同，所以分成了兩個函式來寫
插入節點畢竟會改變樹的樣子
所以要考慮拍扁
那麼，現在問題來了
我們既要保證樹的平衡，又要保證複雜度，怎麼辦呢？
我們找滿足nb的最淺的那個重構
這樣既可以保證樹的平衡，又不會因為太淺而影響複雜度（完美؏؏☝ᖗ乛◡乛ᖘ☝؏؏）
//返回的是最淺的nb（牛逼）點的地址
nod *ins(nod &o,int k)
{
if(o==null)
{
//如果為空則建立新節點
//注意返回的是指標的地址
o=newnode(k);
return &null;
}
//插入的點在當前點的子樹內
//而這個點是存在的
//所以siz和cov都++
o->siz++,o->cov++;
//遞迴像某個子樹找
nod *p=ins(o->ch[k>=o->val],k);
//先讓p等於子樹中的nb點
//如果當前點是nb點，顯然o比p淺，所以p=&o
if(o->nb()) p=&o;
return p;
}
void ins(int k)
{
nod *p=ins(root,k);
//只要不空說明有nb點，就拍扁重構
if(*p!=null) rebuild(*p);
}
2、刪除
因為我們只有拍扁重構的操作
對於刪除實在是不方便
所以改了一下刪除的方式
改成刪除第k大
所以刪除還得藉助rnk qwq
//刪除第k大的點
void del(nod &o,int k)
{
//沿途siz--，但cov不減，因為是假裝刪除qwq
o->siz--;
//如果當前點存在並且就是要刪的點，就刪了好了qwq
if(o->exist&&o->rk()==k) o->exist=false;
else if(k<=o->rk()) del(o->ch[0],k);
else del(o->ch[1],k-o->rk());
//否則向該去的方向遞迴，注意k的變化
}
//下面是刪k這個數，通過rnk獲取排名
void del(int k)
{
del(root,rnk(k));
//判斷是否需要重構
if(root->siz<root->cov*eps) rebuild(root);
}3、查詢數x的排名
這個不解釋了，比Splay的要簡單不少了
int rnk(int k)
{
nod o=root;
int rank=1;
while(o!=null)
{
if(o->val>=k) o=o->ch[0];
else rank+=o->rk(),o=o->ch[1];
}
return rank;
}4、查詢第k大的數
這個也差不多，平衡樹都是相通的qwq
唯一要注意的是，因為被刪除的點有些是假裝被刪除的，所以要判斷
int kth(int k)
{
nod o=root;
while(o!=null)
{
if(o->ch[0]->siz+1==k&&o->exist) return o->val;
else if(o->ch[0]->siz>=k) o=o->ch[0];
else k-=o->rk(),o=o->ch[1];
}
}5,6、前驅，後繼
直接用rnk和kth巢狀就行了
放上完整程式碼
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define _ 0
#define LL long long
#define Space putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')
#define fuu(x,y,z) for(int x=(y);x<=(z);x++)
#define fu(x,y,z) for(int x=(y);x<(z);x++)
#define fdd(x,y,z) for(int x=(y);x>=(z);x--)
#define fd(x,y,z) for(int x=(y);x>(z);x--)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#ifndef olinr
char getc()
{
static char buf[100001],*p1=buf,*p2=buf;
return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100001,stdin),p1==p2)? EOF:*p1++;
}
#else
#define getc() getchar()
#endif
template<typename T> void in(T &x)
{
int f=1; char ch; x=0;
while(!isdigit(ch=getc()))(ch=='-')&&(f=-f);
while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getc();
x*=f;
}
const double eps=0.75;
struct node
{
int val,siz,cov;
bool exist;
node *ch[2];
void upd()
{
siz=ch[0]->siz+ch[1]->siz+exist;
cov=ch[0]->cov+ch[1]->cov+1;
}
bool nb(){ return ((ch[0]->cov>cov*eps+5)||(ch[1]->cov>cov*eps+5)); }
int rk() { return ch[0]->siz+exist;}
};
typedef node* nod;
node st[1050500],*ts[1050500];
nod tail=st,root,null;
int top,n;
using std::vector;
nod newnode(int k)
{
nod o=top? ts[--top]:tail++;
o->ch[0]=o->ch[1]=null;
o->cov=o->siz=o->exist=1;
o->val=k;
return o;
}
void travel(nod o,vector<nod> &v)
{
if(o==null) return;
travel(o->ch[0],v);
if(o->exist) v.push_back(o);
else ts[top++]=o;
travel(o->ch[1],v);
}
nod divide(vector<nod> &v,int l,int r)
{
if(l>=r) return null;
int mid=(l+r)>>1;
nod o=v[mid];
o->ch[0]=divide(v,l,mid);
o->ch[1]=divide(v,mid+1,r);
o->upd();
return o;
}
void rebuild(nod &o)
{
static vector<nod> v;
v.clear();
travel(o,v);
o=divide(v,0,v.size());
}
nod *ins(nod &o,int k)
{
if(o==null)
{
o=newnode(k);
return &null;
}
o->siz++,o->cov++;
nod *p=ins(o->ch[k>=o->val],k);
if(o->nb()) p=&o;
return p;
}
void del(nod &o,int k)
{
o->siz--;
if(o->exist&&o->rk()==k) o->exist=false;
else if(k<=o->rk()) del(o->ch[0],k);
else del(o->ch[1],k-o->rk());
}
void init()
{
null=tail++;
null->ch[0]=null->ch[1]=null;
null->siz=null->cov=null->val=0;
root=null;
}
void ins(int k)
{
nod *p=ins(root,k);
if(*p!=null) rebuild(*p);
}
int rnk(int k)
{
nod o=root;
int rank=1;
while(o!=null)
{
if(o->val>=k) o=o->ch[0];
else rank+=o->rk(),o=o->ch[1];
}
return rank;
}
int kth(int k)
{
nod o=root;
while(o!=null)
{
if(o->ch[0]->siz+1==k&&o->exist) return o->val;
else if(o->ch[0]->siz>=k) o=o->ch[0];
else k-=o->rk(),o=o->ch[1];
}
}
void del(int k)
{
del(root,rnk(k));
if(root->siz<root->cov*eps) rebuild(root);
}
int main()
{
init();
in(n);
int p,x;
while(n--)
{
in(p),in(x);
if(p==1) ins(x);
if(p==2) del(x);
if(p==3) printf("%d\n",rnk(x));
if(p==4) printf("%d\n",kth(x));
if(p==5) printf("%d\n",kth(rnk(x)-1));
if(p==6) printf("%d\n",kth(rnk(x+1)));
}
return ~~(0^_^0);
}