文章目錄

• 理論基礎
• 歐式變換
• 旋轉
• 旋轉矩陣
• 旋轉向量（軸角）
• 單位四元數
• 尤拉角
• 旋轉轉換
• 平移
• 李群和李代數
• 特殊正交群 $SO(3)$
• 李代數 $\mathfrak{so}(3)$
• 特殊歐式群 $SE(3)$
• 李代數 $\mathfrak{se}(3)$
• 座標系手性
• 注意事項
• 區分 點的變換 和 座標系本身的變換
• 區分 繞定軸旋轉 和 繞動軸旋轉
• 注意 右手系 和 左手系
• 注意 同一剛體中不同座標系姿態變換的相互表示
• 程式設計庫實踐
• Eigen
• TooN
• Sophus
• ROS tf & tf2

理論基礎

三維空間中的變換主要分為如下幾種：

• 射影變換
• 仿射變換
• 相似變換
• 歐式變換

其性質如下圖所示：

本文主要介紹歐式變換。

歐式變換

$\mathbf{T}=$

[ R t 0

T 1 ] ∈ R 4 × 4 \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}

$\mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^T & -\mathbf{R}^T \cdot \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$

Translate by $-C$ (align origins), Rotate to align axes:

$\begin{aligned} P_c &= \mathbf{T} \cdot P_w \\ &= \mathbf{R} \cdot (P_w - C) \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w - \mathbf{R} \cdot C \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w + \mathbf{t} \end{aligned}$

旋轉

旋轉矩陣

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \quad s.t. \quad \mathbf{RR}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R}) = 1$

旋轉向量（軸角）

$\boldsymbol{\xi} = \alpha\mathbf{a} = log(\mathbf{R})^{\vee} \in \mathbb{R}^3$

• 旋轉軸：矩陣 $\mathbf{R}$ 特徵值1對應的特徵向量（單位向量）
  $\mathbf{a} = \frac{\boldsymbol{\xi}}{||\boldsymbol{\xi}||} \in \mathbb{R}^3$

• 旋轉角
  $\alpha = ||\boldsymbol{\xi}|| = arccos(\frac{tr(\mathbf{R})-1}{2}) \in \mathbb{R}$

羅德里格斯公式（Rodrigues’ rotation formula）：
$\mathbf{R} = cos\alpha \mathbf{I} + (1-cos\alpha) \mathbf{aa}^T + sin\alpha \mathbf{a}^{\wedge}$

單位四元數

2D旋轉：單位複數 可用來表示2D旋轉。

$z = a + b\vec{i} = r ( cos\theta + sin\theta\vec{i} ) = e^{\theta \vec{i}}, r = ||z||=1$

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