1. 線性相關性

矩陣 $A$ 的列是線性不相關的當且僅當 $Ax=\mathit{0}$

Ax=\boldsymbol0 的唯一解是 $x=\boldsymbol0$。沒有其它的線性組合能給出零向量。

在三維空間中，如果三個向量 $v_{}$

一系列向量 $v_1, v_2\cdots v_n$ 是線性不相關的當且僅當給出零向量的唯一線性組合是 $0v_1+0v_2\cdots +0v_n$。

如果一個線性組合給出零向量，但不是所有的係數都為零，那麼它們就是相關的。

矩陣 $A$ 的列是線性不相關的當且僅當其秩 $r=n$。這時候有 $n$ 個主元沒有自由變數，零空間中只有一個零向量。

假設在一個矩陣有 5 列，每一列都屬於 $R^3$，那它們肯定是線性相關的。因為矩陣最多有 3 個主元，那就意味著至少有 5-3=2 個自由變數。

如果 $n>m$，那麼在 $R^m$ 中的 $n$ 個向量一定是線性相關的。

一系列向量可以擴充出（span）一個空間如果它們的線性組合填滿了這個空間。列空間就是所有的列擴充出的子空間。

行空間是由矩陣的行擴充出的子空間， $A$ 的行空間稱為 $C(A^T)$，它是 $A^T$ 的列空間。

2. 基

兩個向量不能擴充出 $R^3$ 空間，即使它們是不相關的。四個向量如果只擴充出了 $R^3$ 空間，那它們肯定是不是不相關的。我們需要足夠的向量來擴充出一個空間，而基就剛剛好。

一個向量空間的基是一組向量，並且滿足：它們都是線性不相關的並且它們能擴充出這個空間。

這個空間中的任何向量都可以表示為這些基的線性組合，而且是唯一的線性組合。

向量 $v_1, v_2\cdots v_n$ 是 $R^n$ 的一個基當且僅當它們是一個 $n*n$ 的可逆矩陣的列。因此， $R^n$ 可能有無窮多個基。

矩陣 $A$ 和 $R$ 的行空間是一樣的，主行是行空間的一個基；矩陣 $A$ 和 $R$ 的列空間是不一樣的，但它們的維數是一樣的。

3. 維數

一個向量空間的所有基都包含相同數量的向量，基中向量的個數，稱為空間的維數。

假設 $v_1, v_2\cdots v_m$ 和 $w_1, w_2\cdots w_n$ 都是同一個向量空間的基，那麼一定有 $m=n$。

如果 $m \not = n$，我們假設 $n>m$，因為 $v_1, v_2\cdots v_n$ 是其中一個基，那麼 $w_1, w_2\cdots w_m$ 就都可以表示成它們的線性組合。

我們不知道每一個係數 $a_{ij}$ 的值，但我們知道矩陣 $A$ 的大小為 $m×n$，因此 $VAx = 0$ 也就有非零解，也就是 $Wx = 0$ 有非零解，這就是說 $w_1, w_2\cdots w_n$ 是線性相關的，它們不可能是一個基。

同理，我們也可以證明 $m>n$ 是不可能的，因此一定有 $m=n$。

一個空間的維數就是每個基中向量的個數。

3. 矩陣空間和函式空間

相關性、基和維數不僅僅侷限於向量空間，也適用於矩陣空間和函式空間。

一個包含所有 2×2 矩陣的向量空間，它的維數是 4。

這些矩陣是線性不相關的，我們不僅僅是看它們的列，而是將整個矩陣看作是一個“向量”。

只有當 $ c 1 = c 相關推薦 線性代數之——線性相關性、基和維數 1. 線性相關性 矩陣 A A A 的列是線性不相關的當且僅當 線性代數之——克拉默法則、逆矩陣和體積 1. 克拉默法則 這部分我們通過代數方法來求解 \(Ax=b\)。 用 \(x\) 替換單位矩陣的第一列，然後再乘以 \(A\)，我們得到一個第一列為 \(b\) 的矩陣，而其餘列則是從矩陣 \(A\) 中對應列直接拷貝過來的。 利用行列式的乘法法則，我們有 \[|A|(x_1)=|B_1|\] 線性相關性、基、維數-線性代數課時9（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）          這是Strang教授的第九講，講解的內容是線性相關性、基的概念和維數的概念。 背景知識         對於未知數個數大於方程個數的線性方程組，我們知道對於Ax=0一定有非零解，原因是在消元過程中一定存在自由變數。 線性相關性         定義1 MIT線性代數公開課筆記（Lec9：線性相關性、基、維數） “向量組”：線性相關性、生成空間、作為“基”。 “維數”：一個具體的數值。 對於矩陣A，AX = 0，且矩陣A的行數m小於列數n（即未知數n大於方程數m） 有推論：方程AX= 0有非零解。reason：對於A做消元得到階梯矩陣As，As必包含有不少於一個的自由變數。 一、 線性代數之——行影象和列影象 1. 線性方程組的幾何解釋 線性代數的中心問題就是解決一個方程組，這些方程都是線性的，也就是未知數都是乘以一個數字的。 \[\begin{alignedat}{2} &x \space- \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\sp 線性代數之——矩陣乘法和逆矩陣 1. 矩陣乘法 如果矩陣 \(B\) 的列為 \(b_1, b_2, b_3\)，那麼 \(EB\) 的列就是 \(Eb_1, Eb_2, Eb_3\)。 \[\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3 線性代數之——正交矩陣和 Gram-Schmidt 正交化 這部分我們有兩個目標。一是瞭解正交性是怎麼讓 \(\hat x\) 、\(p\) 、\(P\) 的計算變得簡單的，這種情況下，\(A^TA\) 將會是一個對角矩陣。二是學會怎麼從原始向量中構建出正交向量。 1. 標準正交基 向量 \(q_1, \cdots, q_n\) 是標準正交的，如果它們滿 線性代數之——特徵值和特徵向量 線性方程 \(Ax=b\) 是穩定狀態的問題，特徵值在動態問題中有著巨大的重要性。\(du/dt=Au\) 的解隨著時間增長、衰減或者震盪，是不能通過消元來求解的。接下來，我們進入線性代數一個新的部分，基於 \(Ax=\lambda x\)，我們要討論的所有矩陣都是方陣。 1. 特徵值和特徵向量 幾乎所有 線性代數之——對角化和 A 的冪 利用特徵向量的屬性，矩陣 \(A\) 可以變成一個對角化矩陣 \(\Lambda\)。 1. 對角化 假設一個 \(n×n\) 的矩陣 \(A\) 有 \(n\) 個線性不相關的特徵向量 \(x_1,\cdots,x_n\) ，把它們作為特徵向量矩陣 \(S\) 的列，那麼就有 \(S^{-1} 線性代數之——微分方程和 exp(At) 本節的核心是將常係數微分方程轉化為線性代數問題。 d u 線性代數之二------任意階行列式的計算 code 數學 都是 sum bsp 表達 logs 就會 觀察 上一篇，我們講到了二階行列式的定義，接下來我們要將其拓展到任意階的行列式。 在此之前，我們要講一個叫做逆序數的東西，它與行列式的定義可謂是息息相關。 那麽，什麽是逆序數呢？ 眾所周知，任意一個大小為n的集合都 線性代數之行列式的C#研究實現 學習 ops {0} builder att interop turn gen new 最近學習機器學習 才發現以前數學沒有學好 開始從線性代數開始學起 讀完行列式一章寫了些C#的代碼學習一下。 直接上C#代碼： using System; using Syste 數學-線性代數-#6 線性代數-#6 向量空間、列空間、R^n與子空間 都是 中間 探索 數量 就是 相同 三維 核心 三元 線性代數-#6 向量空間、列空間、Rn與子空間 讓我們回想一下#1的內容，當我們在用向量的新視角看待線性方程組時，曾經提到以“向量的圖像”作為代數學與幾何學橋梁的想法。 而現在，讓我們沿著這個想法深入探索下去，將其作 MIT線性代數：17.正交矩陣和Cram-Schmidt正交化 com img image -s idt 圖片 ima IT ID MIT線性代數：17.正交矩陣和Cram-Schmidt正交化 MIT線性代數：21.特征值和特征向量 向量 IT 線性 TP mage 特征 In 圖片 技術分享 MIT線性代數：21.特征值和特征向量 線性代數之——消元法 1. 消元的思想 針對下面的方程，我們無法直接得到方程的解。 \[\begin{alignedat}{2} &x \space- \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\space&2&y \space=\space 線性代數之——向量空間 1. 向量空間和子空間 向量空間 \(\boldsymbol R^n\) 由所有的 \(n\) 維向量 \(v\) 組成，向量中的每個元素都是實數。 向量空間 \(\boldsymbol R^2\) 可以用 \(xy\) 平面來表示，其中的每個向量有兩個元素，它們定義了平面上一個點的座標。 在一個 線性代數之——秩和解的結構 1. 矩陣的秩 \(m\) 和 \(n\) 給出了矩陣的大小，但卻不是線性方程組的真正大小。因為，一個 \(0=0\) 的方程實際上是不算的。如果 \(A\) 中有完全相等的兩行，或者第三行是第一行和第二行的線性組合，那麼消元過程中就會出現全零的行。線性方程組的真正大小由秩來確定。 矩陣的秩是主元的 線性代數之——向量簡介 1. 二維向量 在二維平面中，一個二維向量可以用一個箭頭來表示，這個箭頭起始於原點，終點座標 ( x 線性代數之——A 的 LU 分解 1. A = LU 之前在消元的過程中，我們看到可以將矩陣 A A A 變成一個上三角矩陣 $