【機器人學】機械臂球形手腕的逆解

如圖1所示的球形手腕(三個關節的軸線相交於一點)是常用的機械臂結構，我們希望在已知座標系3至座標系6的旋轉矩陣的條件下求解3個關節值 $q_{3}$ , $q_{4}$

4 $q_{4}$ ,

q_{6}

$q_{6}$ 。旋轉矩陣可通過尤拉角集合、四元數或直接用3×3的矩陣給出。

圖1 典型腕關節結構

假設現在已知的旋轉矩陣為：

R_{3}^{6} = [\begin{matrix} n_{x} & s_{x} & a_{x} \\ n_{y} & s_{y} & a_{y} \\ n_{z} & s_{z} & a_{z} \end{matrix}]

$R_{3}^{6}=\left[ \begin{matrix} {{n}_{x}} & {{s}_{x}} & {{a}_{x}} \\ {{n}_{y}} & {{s}_{y}} & {{a}_{y}} \\ {{n}_{z}} & {{s}_{z}} & {{a}_{z}} \\ \end{matrix} \right]$

$q_{3}$ , $q_{4}$ , $q_{6}$ 的值為：
當 ${{q}_{5}}\in \left( 0，\pi \right)$

\begin{aligned} (205) & q_{4} = atan 2 (a_{y}, a_{x}) \\ (206) & q_{5} = a \tan 2 (\sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}}, a_{z}) \\ (207) & q_{6} = a \tan 2 (s_{z}, - n_{z}) \end{aligned}

$\begin{align} & {{q}_{4}}=\operatorname{atan}2\left( {{a}_{y}},{{a}_{x}} \right) \\ & {{q}_{5}}=a\tan 2\left( \sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}},{{a}_{z}} \right) \\ & {{q}_{6}}=a\tan 2\left( {{s}_{z}},-{{n}_{z}} \right) \\ \end{align}$
當

q_{5} \in (- π ， 0)

${{q}_{5}}\in \left( -\pi ，0 \right)$

\begin{aligned} (208) & q_{4} = atan 2 (- a_{y}, - a_{x}) \\ (209) & q_{5} = a \tan 2 (- \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}}, a_{z}) \\ (210) & q_{6} = a \tan 2 (- s_{z}, n_{z}) \end{aligned}

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