【機器人學的數學基礎】（2）使用指數積公式對SCARA和擬人（肘）機械臂進行正運動學建模

一般的機器人學教材中，首先介紹的是使用DH方法對機械臂進行正運動學建模，DH方法是對每個連桿給定4個引數，建立齊次矩陣相乘後即可得到機械臂末端的位置和姿態的表示式，另外一種建模方法是指數積公式，這種方法的知名度不高，是因為它的前提是要掌握李群、李代數和螺旋理論，但是我覺得這種方法較DH方法來說，是更直觀的。

本文介紹使用指數積方法對SCARA機械臂和擬人機械臂（有時也被稱為肘機械臂）這兩種構型的機械臂進行正運動學建模。

一、SCARA機械臂

scara
step1:
求解 $表示\theta =0$ 的時候工具座標在基座標中的位形的齊次變換矩陣。

st(0)=⎡⎣⎢⎢⎢I0⎛⎝⎜0l1+l2l0⎞⎠⎟1⎤⎦⎥⎥⎥ ${{g}_{st}}\left( 0 \right)=\left[ \begin{matrix} I & \left( \begin{matrix} 0 \\ {{l}_{1}}+{{l}_{2}} \\ {{l}_{0}} \\ \end{matrix} \right) \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
step2:
設關節1，2，3的角速度的方向為沿z軸，所以

w1=w2=w3 ${{w}_{1}}={{w}_{2}}={{w}_{3}}$

[0 0 1 ]T $\left[ \begin{matrix} 0 \ 0 \ 1 \ \end{matrix} \right]^{T}$ ;
step3:
將

wi ${w_{i}}$ 寫成反對稱矩陣的形式：

w∧1=w∧2=w∧3=⎡⎣⎢010−100000⎤⎦⎥ ${{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,}_{1}}={{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,}_{2}}={{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,}_{3}}=\left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

step4:
相應的座標系原點在基座標系中的位置：

q1=⎡⎣⎢000⎤⎦⎥;q2=⎡⎣⎢0l10⎤⎦⎥;q3=⎡⎣⎢0l1+l20⎤⎦⎥; ${{q}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right];{{q}_{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ {{l}_{1}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right];{{q}_{3}}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ {{l}_{1}}+{{l}_{2}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right];$
step5:
旋轉關節1,2,3運動旋量座標：

ξ1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢000001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ξ2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢l100001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ξ3=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢l1+l200001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥; ${{\xi }_{1}}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}{{\xi }_{2}}=\begin{bmatrix} {{l}_{1}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}{{\xi }_{3}}=\left[ \begin{matrix} {{l}_{1}}+{{l}_{2}} \\ 0 \\ 0 \\ \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right];$
step6:
移動關節4的運動旋量座標：

ξ4=[v40]=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢001000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥; ${{\xi }_{4}}=\left[ \begin{matrix} {{v}_{4}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right];$
step7:
求解各個關節運動的剛體運動的李代數的矩陣形式：

ξ1∧=[w∧10v10]=⎡⎣⎢⎢⎢0100−100000000000⎤⎦⎥⎥⎥; $\overset{\wedge }{\mathop{{{\xi }_{1}}}}\,=\left[ \begin{matrix} {{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,}_{1}} & {{v}_{1}} \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right];$

ξ2∧=[w∧20v20]=⎡⎣⎢⎢⎢0100−10000000l1000

【機器人學的數學基礎】（2）使用指數積公式對SCARA和擬人（肘）機械臂進行正運動學建模

一、SCARA機械臂

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