【機器人學的數學基礎】（1）李群、李代數和螺旋運動
阿新 • • 發佈：2018-11-25
剛體變換/3維空間中的旋轉運動/3維空間中的剛體運動
這篇文章的內容來源於《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》。
一、重要數學符號的含義
首先介紹若干符號及含義，一些同學可能已經知道旋轉矩陣和齊次變換矩陣的形式，現在是將其一般化，即用
-
SO(3) :特殊正交矩陣群，可以表示為剛體的位形空間。即可表示剛體的位形，也可以實現同一點在不同座標系中的變換，SO(3)={R∈R3×3:RRT=I,detR=+1} 。 -
so(3) ：是反對稱矩陣w∧ ，是SO(3) 的李代數。w∧=⎡⎣⎢0w3−w2−w30w1w2−w10⎤⎦⎥ ； -
SE(3) :特殊歐氏群，即可用於確定剛體的位形（configuration），又可用於一點由一個座標到另一個座標的座標變換，SE(3)={(p,R):p∈R3,R∈SO(3)}=R3×SO(3) ； -
se(3) :SE(3) 的李代數，其中的元素叫做運動旋量（twisit）,se(3)={(w∧,v)|w∧∈so(3),v∈R3} -
w ：關節轉動中心軸的向量表示形式； -
w∧ ：關節轉動中心軸的反對稱矩陣表示形式，w∧=⎡⎣⎢0w3−w2−w30w1w2−w10⎤⎦⎥ ； -
ξ∧ ：se(3) 的4×4 矩陣形式：ξ∧=[w∧0v0] ； -
ξ ：ξ=(vw )∈R6 為ξ∧ 的運動旋量座標（twist coordination）。 -
eξ∧θ ：這是引出螺旋運動的重要的定義，表示從se(3) 到SE(3) 的指數變換，對於給定的ξ∈se(3) 和θ∈R ，ξ∧θ 的指數為SE(3) 的元素，即eξ∧θ∈SE(3) ，eξ∧θ 的一般形式為：
⎡⎣⎢ew∧θ0(I−ew∧θ)