面試過程中的排列組合和趣味性題目一
阿新 • • 發佈：2018-11-27
面試過程中的排列組合和趣味性題目
- 感想
- problem 1
- problem 2
- problem 3
- problem 4
- problem 5
- problem 6
- problem 7
- problem 8
- problem 9
- problem 11
- problem 12
- ## problem 13
- problem 14
- problem 15
- problem 16
- problem 17
- problem 18
- problem 19
- problem 20
- problem 21
- problem 22
- problem 23
- problem 24
- problem 25
- problem 26
- problem 27
- problem 28
- problem 29
- problem 30
感想
在我緊張的準備找工作的過程中，我發現有很多很有意思的排列組合問題，我這裡也整理了一部分，我分享出來，也希望大家enjoy 一下，另外，我把我求招刷的題目，和一些記錄放在了github上，地址為： https://github.com/w5688414/JobInterviewInAction
有需要的同學可以去看看，也鼓勵大家建立自己的知識庫。
problem 1
- 某團隊有 2/5 的人會寫 Java 程式，有 3/4 的人會寫 C++程式，這個團隊裡同時會寫 Java 和 C++的最少有______人。
概率論公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
4*5最小公倍數20人,20*(2/5+3/4-1) = 3
problem 2
- 平面內有11個點，由它們連成48條不同的直線，由這些點可連成多少個三角形？
平面內有11個點，如果沒有多個點在一條線上，最多可以有C11 2=11*10/2=55 而目前只連成48條直線，說明有多個點在一條線上。55-48=7條 而三個點在一條直線上，減少C3 2 - 1 = 2條線 四個點在一條線上，減少C4 2 - 1 = 5條 五個點在一條線上，減少C5 2 - 1 = 9條 所以所以有一組三個點共線有一組四個點共線 如果沒有3個或3個以上的點在一條直線上，則可以連上C(11,3)=165 現在有一個三點共線和一個四點共線，三點共線會減少1個三角形,C(3,3)=1 四點共線會減少4個三角形，C(4,3)=4 則最終的連線個數為165-1-4-160
problem 3
- How many rectangles you can find from 3*4 grid?
因為每兩條橫線與兩條豎線可以組成一個矩形，
共有4條橫線，5條豎線
因此共有C(4,2)*C(5,2)=6*10=60個
problem 4
- 老王去年種了一塊菜地，今年他又新開發出了一塊比去年大的正方形菜地，這塊新地的捲心菜的產量比去年多211只。請問他今年總共可從這兩塊菜地上收穫多少隻捲心菜?(假設面積相等的菜地去年和今年的產量一樣)。
總共收穫2x+211顆，其中x必須為整數。
problem 5
- 殺人遊戲，6個人互相投票，有一個人被其他5個人一起投死的概率是多少（）？
假設每個人都不會投自己，投其他每個人是等概率的。
（6*5）/（5^6）
分母：每個人都有5種選擇，即總的投票情況有5^6種
分子：被投死的人可以是6人中任一個，被投死的人有5種投票的情況
problem 6
- 我們在將某個訂單送給某一司機之前，需要計算一下這個司機選擇接受這個訂單的概率，現有A,B兩個訂單，對某一司機。已知：
1.如果只將訂單A播送給司機，司機接受的概率是Pa;
2.如果只將訂單B播送給司機，司機接受的概率是Pb;
現在講A，B同時播送給該司機，司機選擇A的概率是多少
則 P(A) = Pa(1-Pb)，P(B)=Pb(1-Pa)，P(AB)=PaPb，P(不接)=(1-Pa)(1-Pb)
若兩單隻能接一單或不接，即去掉AB。那麼概率為P(A)/(1-P(AB)) = Pa(1-Pb)/(1-PaPb)
problem 7
- 人工批量種植盆景虎皮蘭，已知它們植株高度平均70cm，標準差5cm。現在從中隨機輸出100盆景到市場銷售，則下面說法錯誤的是（）：
估計100盆中至少有75盆高度在60到80cm之間
有較高把握估測這100盆的平均高度在69到72cm之間
估計100盤中至少有70盆高度在65到75cm之間
正態分佈曲線性質中有 ：P（μ-σ<X≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=99.7%；依照題意，落在 [65,75]之間 平均有 有68盆，落在[60,80]之間 平均 有95盆
problem 8
- 集合A={0，1，2} 上的四個關係中，哪個是等價關係？ （ ）
R1={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <1,2> }
R2={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <0,1>,<1,0>}
R3={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <0,2>, <2,1> }
R4={<0,1>, <1,0>, <0,0>, <1,1>}
等價關係需要滿足三個性質：自反性、對稱性、傳遞性。R1不滿足對稱性，R3不滿足對稱性、傳遞性，R4不滿足自反性。
強度 λ 的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變數，且服從同一個指數分佈（即引數為 λ 的指數分佈），而指數分佈的均值為1/λ 。
problem 9
- H同學每天乘公交上學，早上睡過頭或遇到堵車都會遲到；H早上睡過頭的概率為0.2，路上遇到堵車的概率為0.5；若某天早上H遲到了，那麼以下推測正確的有（）。
因為H同學遲到是事實，所以睡過頭佔遲到總概率為2/7,堵車佔遲到總概率為5/7
problem 10
- 有8只球隊，採用抽籤的方式隨機配對，組成4場比賽。假設其中有4只強隊，那麼出現強強對話（任意兩隻強隊相遇）的概率是____。
把8支隊伍分成強隊（A、B、C、D）和弱隊（A‘、B’、C‘、D’），首先考慮全組合：A可以選擇剩下的7支隊伍，剩下6支隊伍假設為（B、C、D）和弱隊（B’、C‘、D’），B選擇可以選5支隊伍，然後剩下的可以選3支，剩下兩隊就不用選了，總共為7*5*3；如果只能強隊和弱隊組合：A可以選4支隊伍，然後B可以選3支，然後C可以選2支，D也不用選了，總共為4*3*2。出現強強相遇的概率就為
1-(4*3*2)/(7*5*3)=27/35
reference
[阿里筆試]有8只球隊,採用抽籤的方式隨機配對,組成4場比賽。假設其中有4只強隊,那麼出現強強對話 (任意兩隻強隊相遇)的概率是？
problem 11
- 推理：24個人，每人至少養一種寵物，養鳥、狗、魚、貓的分別為13、5、10、9人，同時養鳥和狗的2人，同時養鳥和魚、鳥和貓、魚和貓的各為4人，養狗的既不養貓也不養魚。問只養一種寵物的總共幾人？同時養鳥魚貓的幾人？
- 並集AuBuCuD=24. A:鳥 B:狗 C:魚 D:貓
- A=13，B=5，C=10，D=9.
- 交集AnB=2，AnC=4，AnD=4，CnD=4.
- 還有一個交集AnCnD。沒有其他可能的集合。
- A+B+C+D-(AnB+AnC+AnD+CnD)+AnCnD=AuBuCuD。
- 可得AnCnD=24-（37-14）=1.
- 13-2-4-4+1=4. 5-2=3. 10-4-4+1=3. 9-4-4+1=2
- 4+3+3+2=12
problem 12
- 集合A到B共有64個不同的函式，則B中元素不可能有（ ）個。
4
8
16
64
集合 A元素為a個，集合B元素為b個，則集合a到b的函式共有b^a個。
## problem 13
- 有20個自然數1-20.每次取兩個數字,取出不放回，其中一個數字是另一個數字2倍多。則最多取出來（）個數字。
因為1到9的2倍多不會超過20,所以1到9我們放在第一個取的舉個例子
1 10
2 11
3 12
4 13
5 14
6 15
7 16
8 17
9 19
共18個
problem 14
- 用兩種顏色去染排成一個圈的6個棋子，如果通過旋轉得到則只算一種，問一共有多少____種染色模式。
- polya定理：
(2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6=14
- 假如兩個顏色分別為黑白，全黑：1，一個白：1，兩個白:3，三個白：4，根據對稱性，四個白為3，五個白為1，全白為1，則有14種
problem 15
- 馬路上有編號1,2,3…10的十盞路燈，為節約用電而又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有()種不同的關燈方法。
採用插隔板法，即8燈關3,餘5燈亮,5燈之間6個空,插入3盞不亮燈即C（6,3）
problem 16
- 某次買可樂集瓶蓋活動中有5種不同的瓶蓋以等概率出現，每買一瓶汽水可得到一個瓶蓋，集齊所有瓶蓋所買汽水瓶數的期望，與以下哪個結果最為接近
取到一種不同瓶蓋的期望次數為1；
在已經取到一種瓶蓋的情況下，再取到一種不同的瓶蓋的期望次數是1/（4/5）=5/4；
在已經取到兩種瓶蓋的情況下，再取到一種不同的瓶蓋的期望次數是1/（3/5）=5/3；
因此，取到五種瓶蓋的期望次數為1+5/4+5/3+5/2+5/1=11+5/12。
problem 17
- 三個骰子搖到的點數之和為（）的概率最大？
- 點數和為10時，可以分為：（1）（1，3，6），（1，4，5），（2，3，5）；（2）（2，2，6），（3，3，4），（4，4，2）。
P = (3! * 3 + 3 * 3)/6*6*6 = 27/216
- 點數和為11時，也分為兩種情況：（1）（1，4，6），（2，3，6），（2，4，5）； （2）（3，3，5），（4，4，3），（5，5，1）
P = (3! * 3 + 3 * 3)/6*6*6 = 27/216
reference
problem 18
- 含5個節點，3條邊的不同構的簡單圖有（ ）
1. A--B,A--C,A---D,E
2. A--B,A--C,C--D,E
3. A--B--C--D,E
3. A--B--C,D--E
problem 19
- 硬幣遊戲：連續扔硬幣，直到 某一人獲勝，A獲勝條件是先正後反，B獲勝是出現連續兩次反面，問AB遊戲時A獲勝概率是？
考慮先拋兩次，共4種情況：正正，正反，反正，反反；
正反 A勝，反反 B勝；
正正 情況下，接著拋，如果是正，遊戲繼續；如果是反，A勝。所以這種情況下最終也是A勝。
反正 情況下也是類似的，最終也是A勝。
所以A得勝率是3/4.
problem 20
- 兩個人拋硬幣，規定第一個丟擲正面的人可以吃到蘋果，請問先拋的人能吃到蘋果的概率多大？
先拋的人能吃到蘋果的概率：
第一次吃到蘋果P1：1/2;正
第二次吃到蘋果P2：1/2 * 1/2 * 1/2;(反反正)
第三次吃到蘋果P3：1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2;(反反反反正)
第四次吃到蘋果P4： 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 ;(反反反反反反正)
...
第 N 次吃到蘋果Pn： 1/2 * 1/2 * 1/2 * ... * 1/2 * 1/2 * 1/2 ;
先拋的人能吃到蘋果的概率：P = P1+P2+...+Pn = 1/2 + 1/2 * （1/4） + 1/2 * (1/4)^2 + ... + 1/2 * (1/4)^(n-1)
= 1/2 * （1 + （1/4）^1 + （1/4）^2 + （1/4）^3 + （1/4）^(n-1) ）
<= 1/2 * （1 + 1/4 / (1-1/4)）(n->無窮大)
<= 1/2 * 4/3 = 2/3
problem 21
- 有甲乙兩隻圓柱形玻璃杯，其內徑一次是 10 釐米、 20 釐米，杯中都裝滿了水。甲杯中之前放有一鐵塊，當取出此鐵塊時，甲杯中的水位下降了 2 釐米，然後將此鐵塊放入乙杯中。問：這時乙杯中的水位上升了多少釐米？
- 這道題有些像腦筋急轉彎，其實想明白了也非常簡單。
- 注意“杯中都裝滿了水”這句話，表明乙杯在放入鐵塊之前便已裝滿水，
- 現在放入一個鐵塊只能使水漫出來，但水面不會增高。
problem 22
- 若AB為任意兩個隨機事件，則（）
P(AB)<=(P(A)+P(B))/2
- 由P（AB）定義可知：P（AB）<=P(A)，P（AB）<=P(B)；相加，除以2
- 如果A包含B，則P(AB)=P(B)，而P(A)*P(B)<=1*P(B)=P(B)，即P(AB)可能大於P(A)*P(B)
problem 23
- 其他每天有流量雨的概率是相等的，一個人每天晚上都去觀察，發現一個月能夠看到流星的概率是91%，請問半個月中能夠看到流量的概率是多少？
- 設一天中看得到流星雨的概率為X
一個月至少能看到一場的概率為：1-（1-X）30=91%
那麼（1-X）15 =30%
則半個月至少能看到一場流行雨的概率為：1-（1-X）15=70%
problem 24
- 一個英雄基礎攻擊力為100，攜帶了三件暴擊武器，武器A有40%的概率打出2倍攻擊，武器B有20%的概率打出4倍攻擊，武器C有10%概率打出6倍攻擊，各暴擊效果觸發是獨立事件，但是多個暴擊效果在一次攻擊中同時觸發時只有後面武器的暴擊真正生效，例如一次攻擊中武器A判定不暴擊，武器B和武器C都判定觸發暴擊，那麼這次攻擊實際是600攻擊力。那麼這個英雄攻擊力的數學期望是____。
- 600 * 10%） // 使用武器C
+（400* 90% * 20% ） // 使用武器B，需要保證沒有使用武器C，否則因為多個暴擊效果在一次攻擊中同時觸發時只有後面武器的暴擊真正生效，武器B不生效
+（200 * 90% * 80% * 40%） // 同理，使用武器A，需要保證武器B和C都沒有使用
+（100*60%*80%*90%）// 沒有使用任何武器
= 232.8
problem 25
- 有兩個袋子，白色袋子裡有7個紅球和3個藍球，黑色袋子裡有3個紅球和7個藍球。每次取一個球，取完立刻放回，所有球都從某一個袋子裡取，袋子的選擇是隨機的。共取出6個紅球和4個藍球。問所有球是從黑色袋子裡取出的概率是（）
- 0.3^6 * 0.7^4 / ( 0.7^6 * 0.3^4 + 0.3^6 * 0.7^4) ;//分子分母同時除以 0.3^4 * 0.7^4
- 0.3^2 * / ( 0.7^2+ 0.3^2) = 9/(49+9) = 0.16
problem 26
- 在一冒險遊戲裡，你見到一個寶箱，身上有N把鑰匙，其中一把可以開啟寶箱，假如沒有任何提示，隨機嘗試，問：
（1）恰好第K次（1=<K<=N）開啟寶箱的概率是多少。
（2）平均需要嘗試多少次
- （1）恰好第K次（1=<K<=N）開啟寶箱的概率是多少。
(1-1/n)*(1-1/(n-1))*(1-1/(n-2))***(1/(n-k+1)) = 1/n
- （2）平均需要嘗試多少次。
這個就是求期望值 由於每次開啟寶箱的概率都是1/n，則期望值為：
1*(1/n)+2*(1/n)+3*(1/n)+......+n*(1/n) = （n+1）/2
problem 27
- 有個苦逼的上班族，他每天忘記定鬧鐘的概率為0.2，上班堵車的概率為0.5，如果他既沒定鬧鐘上班又堵車那他遲到的概率為1.0，如果他定了鬧鐘但是上班堵車那他遲到的概率為0.8，如果他沒定鬧鐘但是上班不堵車他遲到的概率為0.9，如果他既定了鬧鐘上班又不堵車那他遲到的概率為0.0，那麼求出他在60天裡上班遲到的期望。
- 每天遲到的概率P=1*0.2*0.5+0.9*0.2*0.5+0.8*0.8*0.5+0=0.51
E（x1+x2+...+x60）=E(x1)+...+E(x60)=60*0.51=30.6
problem 28
- 有三個黑氣球，其中只有一個黑氣球中有金幣，你可以任意選擇任何一個氣球，而主持人在剩下的氣球中打破一個氣球，然後告訴你裡邊沒有金幣:你還有一次機會，既可以堅持選擇，也可以換另外一個未打破的氣球。如果你選擇換的話獲得金幣的概率為()
- 如果你第一次選擇有金幣的氣球（1/3的概率），那麼你換了之後肯定得不到金幣，
- 所以這種情況下得到金幣的概率是1/3*0=0。如果你第一次選擇沒有金幣的氣球（2/3的概率），
- 那麼你換了之後，剩下的那個沒有破的氣球裡面就是金幣，
- 所以這種情況下得到金幣的概率是2/3*1=2/3。總概率0+2/3=2/3。
learning
t檢驗，主要運用於樣本含量較少（一般n<30），總體標準差σ未知的正態分佈資料。
適用條件：
(1) 已知一個總體均數；
(2) 可得到一個樣本均數及該樣本標準差；
(3) 樣本來自正態或近似正態總體。
U檢驗應用條件和t檢驗應用條件基本一致， 只是大樣本時用u檢驗 ，小樣本時用t檢驗，t檢驗可以代替U檢驗。
problem 29
- 平均要取多少個(0,1)中的隨機數才能讓和超過1。
- 任取n個0到1之間的實數，這些數之和小於1的概率：
(1) n=1，p1 = 1 = 1/1!
(2) n=2，p2 = 1/2 = 1/2!
二維空間中x+y<1的幾何分佈模型
(3) n=3，p3 = 1/6 = 1/3!
三維空間中x+y+z<1在單位立方體中截得三稜錐的體積
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6
(4) n=4，p4 = 1/24 = 1/4!
四維空間中單位立方體一角的“體積”，其“底面”為一個體積為1/6的三維體
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此類推， n 個隨機數之和不超過 1 的概率就是 1/n! ，反過來 n 個數之和大於 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 個數才剛好超過 1 的概率就是
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此，要想讓和超過 1 ，需要累加的期望次數為
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
problem 30
- 假設淘寶使用者上的使用者看到一個商品後購買的概率是5%，收藏的概率是20%，而使用者收藏一個商品之後購買的概率是20%，那麼已知某使用者看到某商品之後完成了購買，那麼該使用者收藏過該商品的概率是____。
- 設A為買，B為收藏。 已知P(A)=5%, P(B)=20%, P(A|B) = 20%。
所以P（B|A）=P(AB)/P(A) = P(A|B)P(B)/P(A) = 80%.