題目鏈接

比如說上面\(|S|\)為12的字符串，我們欲求出\(f(9)\)的值，那麽上面相同顏色的字符必須兩兩能夠匹配。也就是說，同種顏色的字符集裏不能同時出現0和1。如果只考慮同種顏色集裏相鄰的兩個字符能否匹配，那麽小樣例都過不了。。

我們仔細觀察就會發現，每隔\(|S|-len\)的位置就會出現相同的字符。我們可以認為長度為\(len\)的border實質上就是將長度為\(len\)的前綴向後偏移\(|S|-len\)，看是否能匹配。

如果有兩個字符\(s[i],s[j]\ (i<j)\)，他們一個是0，一個是1，那麽偏移量就不能為\(j-i\)。於是我們定義一個數組\(illegal\)

假設我們已經求出了\(illegal\)數組，我們判斷\(f(len)\)的值，那麽我們只需判斷\(illegal[|S|-len]\)就可以了嗎？當然不行，因為我們說了是字符集中不同時出現0和1，只判斷\(illegal[|S|-len]\)相當於只判斷了相鄰兩個字符能否匹配。所以我們還要判斷\(|S|-len\)的倍數。

至於求\(illegal\)，就是經典的\(FFT/NTT\)在字符串匹配中的引用。可以構造一個反串，然後正反串做\(NTT\)就可以了。具體可以參考【BZOJ4259】殘缺的字符串。

不過似乎不用這麽麻煩，就直接將正串的1設為1，反串的0設為1然後一邊\(NTT\)

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 500005
#define Z complex<double>
#define pi acos(-1)
#define mod 998244353

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

char s[N];
int rev[N<<2],n;
ll f[N<<2],g[N<<2];
ll Match[N<<2];

ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans;
}
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
    static const ll G=3;
    int n=1<<d;
    for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int s=1;s<=d;s++) {
        int len=1<<s,mid=len>>1;
        ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);
        for(int i=0;i<n;i+=len) {
            ll t=1;
            for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
                ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;
                a[i+j]=(u+v)%mod;
                a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1) {
        ll inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}
bool illegal[N<<2];
ll ans;
int main() {
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    int d=ceil(log2(n*2+2));
    
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(s[i]=='?') f[i]=g[n+1-i]=0;
        else if(s[i]=='0') {
            f[i]=g[n+1-i]=1;
        } else {
            f[i]=8,g[n+1-i]=2;
        }
    }
    
    NTT(f,d,1),NTT(g,d,1);
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) f[i]*=g[i];
    NTT(f,d,-1);
    
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) Match[i]+=f[i];
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(s[i]=='?') f[i]=g[n+1-i]=0;
        else if(s[i]=='0') {
            f[i]=g[n+1-i]=1;
        } else {
            f[i]=4,g[n+1-i]=4;
        }
    }
    NTT(f,d,1),NTT(g,d,1);
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) f[i]*=g[i];
    NTT(f,d,-1);
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) Match[i]-=2*f[i];
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(s[i]=='?') f[i]=g[n+1-i]=0;
        else if(s[i]=='0') {
            f[i]=g[n+1-i]=1;
        } else {
            f[i]=2,g[n+1-i]=8;
        }
    }
    NTT(f,d,1),NTT(g,d,1);
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) f[i]*=g[i];
    NTT(f,d,-1);
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) Match[i]+=f[i];
    
    for(int i=0;i<=n+1;i++) 
        if(Match[i]) illegal[abs(i-n-1)]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int flag=0;
        for(int j=i;j<=n;j+=i) {
            if(illegal[j]) {
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(!flag) ans^=1ll*(n-i)*(n-i);
    }
    ans^=1ll*n*n;
    cout<<ans;
    return 0;
}
 

「PKUSC2018」神仙的遊戲