中國剩餘定理求解
阿新 • • 發佈：2018-12-02
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典經的、不同除數的同餘式組解法
X≡R1 (mod m1 ) eg:X≡2 (mod 3)
X≡R2 (mod m2) eg:X≡3 (mod 5 )
X≡R3 (mod m3) eg:X≡2 (mod 7 )
名詞註釋
1 餘數R：R1=2、R2=3、R3=2
2 模，亦即除數m：例中m1=3、m2=5、m3=7
3 模的最小公倍數G：G=m1*m2*m3，例中M=3*5*7=105
4 衍數（區域性公倍數）y：Y1=m2m3、Y2=m1m3，Y3=m1m2，例中Y1=5*7=35、Y2=3*7=21、Y3=3*5=15
5 乘率C：這是解算中國剩餘定理的關鍵，而計算“乘率”的方法，是秦九韶在《數書九章》一書中首次提出 的，稱之為“大衍求一術”。“求一”就是使(衍數*乘率)除以模(除數)，而餘數為1。即：
衍數Y*乘率C≡1 (mod m)，乘率C可以經過反算而得到。例中Y1C1≡1 (mod 3)、
Y2C2≡1 (mod 5) 、Y3C3≡1 (mod 7)。
計算步驟
計算C1方法。由Y1C1≡1 (mod 3)——>35C1≡1 (mod 3)——>(35C1－1) / 7=整數N ，得C1=-1。因為35*-1=-35，-35－1=-36，-36÷3=-12，-12是整數，合符要求。C2、C3之計算也相仿。乘率C之計算見下表：
| 同餘式 i | 衍數Y | 乘率C | 餘1 | 模m | 檢驗 (Y*C-1)/m = 整數 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 35 | -1 | 1 | 3 | (35*C-1)/3 =N (35*-1-1)/3 = -12 |
| 2 | 21 | 1 | 1 | 5 | (21*C-1)/5 =N (21*1-1)/5 = 4 |
| 3 | 15 | 1 | 1 | 7 | (15*C-1)/7 =N (15*1-1)/7 = 2 |
最終結果：X≡R1Y1C1+R2Y2C2+R3Y3C3 (mod G)
即X≡Σ餘數*衍數*乘率 (mod G)，見下表計算：
| i | 餘數R | 衍數Y | 乘率C | R*Y*C |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 35 | -1 | -70 |
| 2 | 3 | 21 | 1 | 63 |
| 3 | 2 | 15 | 1 | 30 |
| Σ | 23 |
X≡23(mod 105)