地址：https://leetcode.com/problems/generate-parentheses/

題目：

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

For example, given $n$ = 3, a solution set is:
Example

理解：

想到了檢驗是否是有效序列的那道題。
另外，資料結構裡經常出的幾個數字出入棧的所有可能情況也是一樣的。對於有 $n$個數的集合，出入棧情況可以用卡特蘭數（Catalan number）計算：
$\frac{1}{n}$

實現1：

這種實現left和right是剩餘可新增的括號數。

class Solution {
public:
	vector<string> generateParenthesis(int n) {
		vector<string> res;
		generate(n, n, "", res);
		return res;
	}

	void generate(int left, int right, string curr, vector<string>& res) {
		if (left >= 0 && right >= 0) {
			if (left > right)
				return;
			if (left == 0 && right == 0)
				res.push_back(curr);
			else {
				generate(left - 1, right, curr + "(", res);
				generate(left, right - 1, curr + ")", res);
			}
		}
	}
};

實現2（Backtracking）

class Solution {
public:
	vector<string> generateParenthesis(int n) {
		vector<string> res;
		generate(0, 0, n, "", res);
		return res;
	}

	void generate(int left, int right, const int maxLen, string curr, vector<string>& res) {
		if (curr.size() == 2 * maxLen)
			res.push_back(curr);
		else {
			if (left < maxLen)
				generate(left + 1, right, maxLen, curr + "(", res);
			if (right < left)
				generate(left, right + 1, maxLen, curr + ")", res);
		}
	}
};

複雜度分析：
當可以生成有效的序列時，才會產生函式呼叫。
卡特蘭數的上限有人推匯出來是 $O\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)$。

• 時間複雜度： $O\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)$。每個有效的序列在backtracking過程中有n步。
• 空間複雜度： $O\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)$，另外有 $O(n)$的空間儲存序列。