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線代複習——第一章 行列式

==※==為重點

&1 二階與三階行列式

  1. 二階行列式
    表示式a11a22 - a12a21 稱作二階行列式並記作圖1
    其中a11a22 之間連線稱之為主對角線,a12a21 之間的連線稱之為副對角線
    (1) a
    11 a 12
    a 21 a
    22
    \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{matrix} \right| \tag{1}
  2. 三階行列式
    對角線法則:三條實線的元素之和,減去三條虛線的元素之和
    參考百度百科

&2 全排列與對換

  1. 排列及其逆序數
  • 全排列:把N個不同元素排成一列,簡稱排列
  • 標準次序:對於N個不同元素,各個元素之間的排列順序(對與自然數,可以規定有大到小為標準次序)
  • 逆序:在N個元素的任一排列中,當排列的順序與標準次序不同時,就說他構成一個逆序
  • 逆序數: 一個排列過程中的所有排序的總數
  • 偶排序:逆序數的個數為偶數
    例題:

求排列32514的逆序數
解:
3排在首位,逆序數t1=0;
2的前面比二大的有三,t2=1;
5是最大數,t3=0;
1的前面比一大的有(3,2,5),t4=3;
4的前面比四大的有五,t5=1;
t= i = 1 5 \sum_{i=1}^5 ti=0+1+0+3+1=5

  1. 對換
  • 對換: 將任意兩個元素對調,其餘元素不懂,構造的新排序稱之為對換
  • 相鄰對換: 相鄰兩個元素對換
    定理: 一個排序中的任意兩個元素對換,排序的奇偶改變
    推論: 奇排列對換成標準排列的對換次數為奇數,偶排列對換從標準排序的對換次數為偶數

&3 N階行列式

證明:三階行列式
(2) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| \tag{2}
=a11a22a33 + a12a23a32 + a13a21a32 - a11a23a33 - a12a21a33 - a13a22a31
可以看到,第一個下表全為 123
第二個下表:
帶正號的: 123,231,321 (奇排列)1
帶負號的:132,213,321 (偶排列)
所以三階行列式可寫為
(3) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right| = \sum(-1)^ta_{1p1}a_{2p2}a_{3p3} \tag{3}
所以N階行列式為: (-1)ta1p1a2p2…anpn
記作
(4) a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right| \tag{4}