UOJ題目傳送門

顯然最優的路徑只會經過若干條兩個圓的公切線和若干段圓弧

為了方便，把起點終點看成兩個半徑為\(0\)的圓也行。

最煩的就是算兩個圓的公切線了，一共有四條

對於靠外面的兩條，我們把切線、半徑和兩圓心之間的線段連起來，會構成一個直角梯形。

我們可以求出兩圓心連線的傾斜角，進而求出這兩條切線的傾斜角，然後切線的直線方程就可以寫出來了。

對於靠裡面的兩條，同樣把切線、半徑和兩圓心之間的線段連起來，會出現兩個相似三角形，同樣可以把傾斜角求出來。

接著，判斷這個切線段有沒有被其它的圓擋住。

我的比較蒟蒻的做法：先用點到直線距離公式判是否與直線相交，如果相交，就要看交點是否落線上段上。把兩個切點與切線的垂線的截距搞出來，判斷當前圓的圓心的垂線的截距是否介於兩者之間。

YL巨佬說可以通過向量來搞，算出切點到圓心這個向量在切線上的投影長度，如果小於切線段長度就說明相交了。

接著，對同一個圓上的所有切點順次連邊權為弧長的邊。

最後跑一遍最短路。

細節很多，寫法不盡相同，導致程式碼太醜了。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define DB double
#define RG register
#define R RG int
using namespace std;
const DB EPS=1e-9,PI=acos(-1);
const int N=503,M=8*N*N;
int n,p,he[M],ne[2*M],to[2*M];
DB x[N],y[N],r[N],w[2*M],dis[M];bool vis[M];
struct Dat{DB w;int x;inline bool operator<(Dat a)const{return w<a.w;}};
struct Nod{DB w;int x;inline bool operator<(Nod a)const{return w>a.w;}}q[M];
vector<Dat>v[N];
inline bool Eq(DB x,DB y){
    return fabs(x-y)<EPS;
}
inline DB sqr(DB x){
    return x*x;
}
inline DB Dis(R i,R j){
    return sqrt(sqr(x[i]-x[j])+sqr(y[i]-y[j]));
}
inline DB Ang(DB a){
    while(a>PI)a-=2*PI;while(a<-PI)a+=2*PI;
    return a;
}
inline bool Cross(DB a,DB b,DB c,DB le,DB ri){
    if(le>ri)swap(le,ri);
    DB t=sqr(a)+sqr(b);
    for(R i=1;i<=n;++i)
        if(sqr(r[i])*t-sqr(a*x[i]+b*y[i]+c)>EPS){
            DB tmp=b*x[i]-a*y[i];
            if(le<=tmp&&tmp<=ri)return 1;
        }
    return 0;
}
inline void Add(R x,R y,DB z){
    ne[++p]=he[x];to[he[x]=p]=y;w[p]=z;
    ne[++p]=he[y];to[he[y]=p]=x;w[p]=z;
}
int main(){
    DB sx,sy,tx,ty,a,b,c,A,B,C,tmp;
    int id1,id2,p;
    cin>>sx>>sy>>tx>>ty>>n;
    for(R i=1;i<=n;++i)cin>>x[i]>>y[i]>>r[i];
    n+=2;x[n-1]=sx;y[n-1]=sy;x[n]=tx;y[n]=ty;
    for(R i=1;i<=n;++i)
        for(R j=1;j<i;++j){
            bool fl=0;
            if(r[i]>r[j])swap(i,j),fl=1;
            A=atan2(y[j]-y[i],x[j]-x[i]);
            B=asin((r[j]-r[i])/Dis(i,j));
            for(R tp=0;tp<=1;++tp){
                C=Ang(A+B*(tp?-1:1));
                if(Eq(fabs(C),PI/2))a=1,b=0;
                else a=tan(C),b=-1;
                tmp=Ang(C+PI/2*(tp?-1:1));
                c=-a*(x[i]+r[i]*cos(tmp))-b*(y[i]+r[i]*sin(tmp));
                if(!Cross(a,b,c,b*x[i]-a*y[i],b*x[j]-a*y[j])){
                    id1=4*(n*(i-1)+j-1)+tp,id2=4*(n*(j-1)+i-1)+tp;
                    v[i].push_back((Dat){tmp,id1});
                    v[j].push_back((Dat){tmp,id2});
                    Add(id1,id2,sqrt(sqr(x[i]-x[j])+sqr(y[i]-y[j])-sqr(r[j]-r[i])));
                }
            }
            B=asin((r[j]+r[i])/Dis(i,j));
            for(R tp=0;tp<=1;++tp){
                C=Ang(A+B*(tp?-1:1)); 
                if(Eq(fabs(C),PI/2))a=1,b=0;
                else a=tan(C),b=-1;
                tmp=sqrt(sqr(r[i])*(sqr(a)+sqr(b)));
                c=tmp-a*x[i]-b*y[i];
                if(!Eq(sqr(r[j])*(sqr(a)+sqr(b)),sqr(a*x[j]+b*y[j]+c)))
                    c=-tmp-a*x[i]-b*y[i];
                if(!Cross(a,b,c,b*x[i]-a*y[i],b*x[j]-a*y[j])){
                    id1=4*(n*(i-1)+j-1)+tp+2,id2=4*(n*(j-1)+i-1)+tp+2;tmp=Ang(C+PI/2*(tp?-1:1));
                    v[i].push_back((Dat){Ang(tmp+PI),id1});
                    v[j].push_back((Dat){tmp,id2});
                    Add(id1,id2,sqrt(sqr(x[i]-x[j])+sqr(y[i]-y[j])-sqr(r[j]+r[i])));
                }
            }
            if(fl)swap(i,j);
        }
    for(R i=1;i<=n;++i){
        if(!v[i].size())continue;
        sort(v[i].begin(),v[i].end());
        Add(v[i][v[i].size()-1].x,v[i][0].x,(v[i][0].w-v[i][v[i].size()-1].w+2*PI)*r[i]);
        for(R unsigned j=1;j<v[i].size();++j)
            Add(v[i][j-1].x,v[i][j].x,(v[i][j].w-v[i][j-1].w)*r[i]);
    }
    memset(dis,127,sizeof(dis));
    q[p=1]=(Nod){dis[v[n-1][0].x]=0,v[n-1][0].x};
    while(p){
        R x=q[1].x;pop_heap(q+1,q+p--+1);
        if(vis[x])continue;vis[x]=1;
        for(R y,i=he[x];i;i=ne[i])
            if(dis[y=to[i]]>dis[x]+w[i])
                q[++p]=(Nod){dis[y]=dis[x]+w[i],y},push_heap(q+1,q+p+1);
    }
    printf("%.1lf\n",dis[v[n][0].x]);
    return 0;
}