• 拓展歐幾里得
• 直線上的點
  • 求所有解

拓展歐幾里得

基本演算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by
舉例：

#include<iostream>
using namespace std; 
//ax+by=gcd(a,b)
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
    if
 
(b==0){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else{
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
int main(){
    int d,x,y;
    exgcd(6,15,d,x,y);
    cout<<"gcd: "<<d<<endl;
    cout<<"x: "<<x<<"   y: "<<y<<endl;
    return 0;
}

直線上的點

例如求ax+by=c的整點(x,y)有哪些
因為存在ax0+by0=gcd(a,b)，所以若c是gcd(a,b)的倍數時,ax+by=c的一組解是(x0*c/g,y0*c/g)
當c不是g的倍數時無整數解

求所有解

設a, b, c為任意整數。若方程ax+by=c的一組整數解為(x0,y0)，則它的任
意整數解都可以寫成(x0+kb’, y0-ka’)，其中a’=a/gcd(a,b)，b’=b/gcd(a,b)，k取任意整數。
有了這個結論，移項得ax+by=-c，然後求出一組解即可。