今晚看了《有控飛行力學與計算機模擬》，看到Chapter 2-四元數及其在飛行力學中的應用，然後仔細compare四元數與複數，竟然發現這裡面有好多之前沒有意識到的東西。我覺得比較有意思，就記錄下來，作為我在CSDN上的first article。
複數的表達形式是$a +b i$ ，分為實部和虛部兩部分。當 $b = 0$ 時，複數就退化為實數。比較有意思的是，複數實質是用二維空間去表示一維空間的數，從這個意義上看，複數所包含的資訊超過了實數。以實數$\sqrt{2}$為例，在複平面上，以 （

0，0） $（0，0）$為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的所有複數均能表示$\sqrt{2}$，但是複數還包含方向資訊，如下圖所示。顯然，複數就是向量化的標量。

現在就來討論四元數，四元數的表達形式是$a +b i + ci + di$。當 $b = c=d=0$ 時，四元數就退化為實數。當$b ，c，d$ 中有兩個引數為$0$時，四元數就退化為複數。顯然，四元數的實質是用四維空間去表示三維空間的數。比較有意思的是，四元數的另一種表達形式是$a +\vec{theta}$。首先，這兩種表達形式在數學上是完全等價的；其次，從這個表達形式上看四元數表示為一個常數加上一個$3$維向量。因此，用四元數來研究三維空間中剛體的姿態變化包含的資訊肯定比用尤拉角要好很多，正如由實數擴充套件得到的複數包含的資訊比實數多一樣。