(2016四川高考數學解答壓軸題)設函式$f(x)=ax^2-a-\ln x,a\in R$.

1)討論$f(x)$的單調性;
2)確定$a$的所有可能值,使得$f(x)>\dfrac{1}{x}-e^{1-x}$在區間$(1,+\infty)$內恆成立.

分析:
1)略
2)設$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
當$a\ge \dfrac{1}{2}$時,
$g(x)\ge \dfrac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
記右側函式為$h(x)$,導數為$h^{'}(x)=x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-e^{1-x}$.
由熟悉的$\ln x\le x-1$得$\dfrac{1}{x}\ge e^{1-x}$
故$h^{'}(x)\ge x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x^2}>0$

（此處也可不通過放縮而是進一步求二階導數得到$h^{'}(x)$的正負性）
故$h(x)$單調遞增,而$h(1)=0$,從而$g(x)\ge h(x)>0$
當$a<\dfrac{1}{2}$時
$g(x)<a(x^2-1)-\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}(ax^2+ax-1)]$
容易知道存在$x_0\in (1,+\infty)$使得$g(x_0)<0$
綜上所述,實數$a$的取值範圍為$[\dfrac{1}{2},+\infty)$
備註:
1.$a$的分類標準可以由洛必達法則$(L.Hospital   Rules)$ 得到啟示.
2.幾個常見的放縮:
拉格朗日放縮$\dfrac{x}{x+1}\le \ln (x+1)\le x$
泰勒展開放縮$x-\dfrac{x^2}{2}\le \ln (x+1)\le x$
對數平均放縮$\dfrac{2x}{2+x}\le \ln(x+1)\le\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$