義大利數學家Z.高津託

義大利偉大數學家Sire Zepartzatt Gozinto的生卒年代是一個謎^[1]，但是他發明的 “高筋圖” 在 製造資源管理、物料清單（BOM）管理、智慧閱讀、科學文獻影響因子計算 等方面具有重要應用。

高津託圖

下圖是一個製造業物料需求高津託圖，節點FP1、FP2分別表示最終產品的需求量，邊上的數值表示組裝部件所需要的上游零部件的數量，物料清單(BOM)系統需要知道所有零部件的總需求。圖中：

Primary Demand（主需求） -- 市場對零部件的需求數量
Secondary Demand（次需求） -- 因產品組裝產生的對零部件的需求

數學模型

設圖中的零部件型別數為n，裝配關係（邊）數為m

設pd[i]為節點i的主需求(常量）
sd[i]為節點i的次需求（決策變數）
td[i]為節點i的總需求（被動變數）
pd[i]為節點i的產品拓撲次序編號（決策變數）

根據裝配邏輯，對任何邊k，如果邊k的起始節點為a[k]，終止節點為b[k]，權值為c[k]，則：

    sd[i]=sum{k=1,...,m;a[k]==i}(c[k]td[b[k]]) | i=1,...,n
    td[i]=sd[i]+pd[i]|i=1,...,n

把零部件從裝配上游到下游排序：

    pn[b[k]] >= pn[a[k]] + 1 | k=1,...,m
    pn[i]>=1|i=1,...,n
    pn[i]<=n|i=1,...,n

+Leapms模型：

min sum{i=1,...,n}pn[i]
subject to

    sd[i]=sum{k=1,...,m;a[k]==i}(c[k]td[b[k]]) | i=1,...,n
    td[i]=sd[i]+pd[i]|i=1,...,n
    
    pn[b[k]] >= pn[a[k]] + 1 | k=1,...,m
    pn[i]>=1|i=1,...,n
    pn[i]<=n|i=1,...,n

where 
    m,n are numbers
    e,pd are sets
    a[k],b[k],c[k] are numbers | k=1,...,m
    sd[i],td[i] are variables of nonnegative numbers|i=1,...,n      
    pn[i] is a variable of nonnegative number|i=1,...,n

data_relation
    m=_$(e)/3
    n=_$(pd)
    a[k]=e[3k-2]|k=1,...,m
    b[k]=e[3k-1]|k=1,...,m
    c[k]=e[3k]    |k=1,...,m
data
    pd={150 50 20 230 0 0 0 0}
    e={
        3 1 1
        4 1 2
        4 2 3
        4 3 3
        4 5 2
        5 2 4
        6 3 4
        6 4 5
        7 4 3
        7 5 1
        8 5 2
    }

求解：

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        gozinto.leap
 .........
please input the filename:gozinto
================================================================
1:  min sum{i=1,...,n}pn[i]
2:  subject to
3:
4:      sd[i]=sum{k=1,...,m;a[k]==i}(c[k]td[b[k]]) | i=1,...,n
5:      td[i]=sd[i]+pd[i]|i=1,...,n
6:
7:      pn[b[k]] >= pn[a[k]] + 1 | k=1,...,m
8:      pn[i]>=1|i=1,...,n
9:      pn[i]<=n|i=1,...,n
10:
11:  where
12:      m,n are numbers
13:      e,pd are sets
14:      a[k],b[k],c[k] are numbers | k=1,...,m
15:      sd[i],td[i] are variables of nonnegative numbers|i=1,...,n
16:      pn[i] is a variable of nonnegative number|i=1,...,n
17:
18:  data_relation
19:      m=_$(e)/3
20:      n=_$(pd)
21:      a[k]=e[3k-2]|k=1,...,m
22:      b[k]=e[3k-1]|k=1,...,m
23:      c[k]=e[3k]    |k=1,...,m
24:  data
25:      pd={150 50 20 230 0 0 0 0}
26:      e={
27:          3 1 1
28:          4 1 2
29:          4 2 3
30:          4 3 3
31:          4 5 2
32:          5 2 4
33:          6 3 4
34:          6 4 5
35:          7 4 3
36:          7 5 1
37:          8 5 2
38:      }
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=24
number of constraints=43
..................................
+Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到線性規劃最優解.非零變數值和最優目標值如下：
    .........
    pn1*=4
    pn2*=4
    pn3*=3
    pn4*=2
    pn5*=3
    pn6*=1
    pn7*=1
    pn8*=1
    sd3*=150
    sd4*=1360
    sd5*=200
    sd6*=8630
    sd7*=4970
    sd8*=400
    td1*=150
    td2*=50
    td3*=170
    td4*=1590
    td5*=200
    td6*=8630
    td7*=4970
    td8*=400
    .........
    Objective*=19
    .........
+Leapms>

結果

參考文獻

[1] Rousseau, R. . (1987). The gozinto theorem: using citations to determine influences on a scientific publication. Scientometrics, 11(3-4), 217-229.