BZOJ
洛谷

\(Description\)

給定\(n\)個數\(A_i\)。求它有多少個子集，滿足能被劃分為兩個和相等的集合。
\(n\leq 20,1\leq A_i\leq10^8\)。

\(Solution\)

顯然我們要預處理哪些集合可以被劃分為兩個和相等的集合。每個元素三種狀態，這樣我們就可以得到一個\(O(3^n)\)的做法。。
顯然不行啊，但是和相等這種東西可以折半啊！

將序列分成兩半分開DFS。這樣兩個和相等的集合\(S_1,S_2\)中的元素可能會被分開。設\(a\)為\(S_1\)在前一半中序列的元素的和，\(b\)為\(S_1\)在後一半序列中的元素的和；\(c,d\)

和為\(a-c\)的集合可能有多個，直接\(Hash/map+vector\)存一下有哪些集合就可以了（這題集合可以直接二進位制狀壓）。
複雜度是不是還會被卡到\(O(6^{\frac n2})\)啊。。在SPOJ是T了，但能過BZOJ。
其實合併狀態可以sort後線性合併，就快很多了。（不對啊，感覺複雜度差不多啊==，我hash寫太醜了？）

當然這也不是正解，還有更快的，比如：https://blog.csdn.net/u014609452/article/details/51872702

//7132kb    2584ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 20000000
typedef long long LL;
const int N=61005;//為啥60005在BZOJ上RE啊，自測可過。

int n,mid,cnt,A[23],Enum,H[(1<<20)+5],sum[N],nxt[N];
bool vis[(1<<20)+5];
struct Node
{
    int s,sum;
    bool operator <(const Node &x)const
    {
        return sum<x.sum;
    }
}rs[N];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
inline void AE(int s,int Sum)
{
    sum[++Enum]=Sum, nxt[Enum]=H[s], H[s]=Enum;
}
void DFS1(int x,int s,int sum)
{
    if(x<0) {AE(s,sum); return;}
    DFS1(x-1,s,sum), DFS1(x-1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS1(x-1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
void DFS2(int x,int s,int sum)
{
    if(x==n) {rs[++cnt]=(Node){s,sum}; return;}
    DFS2(x+1,s,sum), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}

int main()
{
    static int lsum[N];
    n=read(),mid=n>>1;
    for(int i=0; i<n; ++i) A[i]=read();
    DFS1(mid-1,0,0), DFS2(mid,0,0);
    std::sort(rs+1,rs+1+cnt);
    for(int s=0,l=1<<mid; s<l; ++s)
    {
        int t=0;
        for(int i=H[s]; i; i=nxt[i]) lsum[++t]=sum[i];
        std::sort(lsum+1,lsum+1+t);
        for(int i=1,now=1; i<=cnt; ++i)
        {
            while(now<=t && lsum[now]<rs[i].sum) ++now;
            if(now>t) break;
            if(lsum[now]==rs[i].sum) vis[rs[i].s|s]=1;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1,l=1<<n; i<l; ++i) ans+=vis[i];//同一個集合會算重啊 
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}
 

在SPOJ上T掉的：

//89344kb   7060ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 20000000
typedef long long LL;
const int N=61005;

int n,mid,A[23];
bool vis[(1<<20)+5];
struct Hash_Table
{
    int delta,Enum,H[mod+2],nxt[N],s[N]; LL sum[N];//可能衝突 再存一下sum 
    inline void Insert(int S,LL Sum)
    {//注意和可能是負的（加一個mod不就好了==）
        int x=(Sum+delta)%mod;
        s[++Enum]=S, sum[Enum]=Sum, nxt[Enum]=H[x], H[x]=Enum;
    }
    inline void Solve(int S,LL Sum)
    {
        int x=(Sum+delta)%mod;
        for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
            if(sum[i]==Sum) vis[S|s[i]]=1;
    }
}hs;

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
void DFS1(int x,int s,LL sum)
{
    if(x==mid) {hs.Insert(s,sum); return;}
    DFS1(x+1,s,sum), DFS1(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS1(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
void DFS2(int x,int s,LL sum)
{
    if(x==n) {hs.Solve(s,sum); return;}
    DFS2(x+1,s,sum), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}

int main()
{
    n=read(),mid=n>>1; int s=0;
    for(int i=0; i<n; ++i) s+=A[i]=read();
    hs.delta=s, DFS1(0,0,0), DFS2(mid,0,0);
    int ans=0;
    for(int i=1,l=1<<n; i<l; ++i) ans+=vis[i];//同一個集合會算重啊 
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}