數學小故事之 數列極限|當“夾逼定理”愛上“定積分定義”
真真假假，假假真真
歷史為骨，藝術為翼
上週，我們講了求解數列極限的一個比較有難度的方法——夾逼定理，並講了數列放縮的一個基本的技能“找到變化元素，把變化元素全部變成最大（小）元素，實現放大和縮小。”不知道你有沒有發現，昨天的每個題目的通項中，變化元素實際上非常少，一般就是一個變化元素，而且還特別有規律，因此對於一個變化元素來說，直接使用放縮的基本原則一般就能搞定，但是，出題老頭會就這樣善罷甘休嗎？當然不會。“變化元素只有一個？太簡單了！上難度，我讓它變化元素多一些，而且不光是分母變，分子也跟著變，看你怎麼辦，想考150，白日做夢!”
來看看昨天出的思考題第四題，其實我把這個題放在昨天，就是想讓你思考這樣的幾個問題：放縮的基本技能它的侷限性是什麼？什麼情況下這種放縮法將會失效？如果失效我們該怎麼辦？（一句非常中二的話形容：冒險越來越深入了~）
好了，題目來了，咱們先按照昨天講過的方法，分析一下本題的變化元素和不變元素：
分子：sin三角函式，好像是個變化元素，特點是π前面的係數由1變化到n；分母n不變，但是n後面那一項發生了變化，它其實上是一個1/i的結構，小分子是1不變，小分母由1變化到n
分母的處理方法，我昨天已經講過了，我們的目標就是通過放縮把分母變成一樣的，這樣的話，我們就可以對分式進行合併，那，咱們先操作一下唄~
這裡有一個小技巧，因為本題分母的變化元素是一個分數，所以那句廢話又來了：“分母越大，分數越小；分母越小，分數越大”，所以從1/1到1/n，最大的肯定是1/1，而最小的是1/n，根據基本原則：
下面我們要思考了，不等式右面是不是還是很麻煩？其實做數學做多了我們就會有一個大致感觀：分數不如整數好處理，反三角函式，對數函式不如三角函式，冪函式好處理等等。尤其是這道題，本來就是分式，又套了一個分數，好麻煩啊，因此我進一步放大，反正只要分母變小就行了，那我把1/n整個去掉行不行?是不是這就相當於縮小分母了？（做放縮的思考過程就是這樣，先有一個基本的套路，然後根據不同的題目再做微調，達到想要的結果），因此式子就變成了這樣：
看著舒服多了吧，好了，夾逼定理！誒，等等，這個式子怎麼沒合併成一項啊，明明分母都一樣了呀！
這題的特殊性就在於，即使你處理了分母，分子照樣合不了並，因為三角函式這個函式比較排外，同類項必須完全一樣才能合併，有一點不一樣也不行，而分子同樣是個變化元素，所以，額，不會做了，嗚嗚嗚~~~
好，現在想想我們還有什麼方法？誒，“提1/n”這招我還沒用過，那我試試，看行不行？
先看放縮的右項，疑，天然就有1/n啊，有戲有戲！
再看剩下的部分能不能湊出i/n整體形式？好像也是現成的啊，趕緊試試！
得嘞，1/n，i/n全湊出來了，那接下來，定積分定義翻譯表，一起背：“1/n和求和號翻譯成積分上下限0~1，i/n翻譯成x，最後新增dx”，那麼立即推！
一邊出來了，那麼另一邊呢？就複雜了，這裡面沒有n啊，只有n+1，怎麼辦？“沒有條件，創造條件也要上！”不是沒有n嗎？強行讓他有！
友情提示：插值法其實是一個做數學題時候的一個最底層技能，往往在沒有條件需要創造條件時候使用，具體來說有“加一項減一項”“乘一項除一項”等。
剩下的不用說了吧，湊出來的部分極限是2/π，剩下的部分用抓大頭法，很容易求出極限是1，因此，這道題目最後的答案就是2/π。
當夾逼定理遇上定積分定義時，二者會擦出什麼樣的火花呢？講到這裡以後，想必你已經知道了吧，那就是：夾逼定理主攻分母，定積分定義處理分子，二者相得益彰。
今天思考題的題目是：
