神仙題
題目大意：
定義 $f_m(n)$為可重集合S的個數，其中S滿足S的元素都是m的非負整數次冪，並且S的元素和是n。
定義 $g_{}^{}$

m 1 ( n ) = f m ( n ) , g m k ( n ) = ∑ i = 0 n g m k − 1 ( n ) f m ( n ) , k ≥ 2 g_m^1(n)=f_m(n),g_m^k(n)=\sum_{i=0}^ng_m^{k-1}(n)f_m(n),k\geq2 ，求： $\sum_{i=0}^ng_m(i)$。 $n,m\le10^{18},k\le20$
題解：
考慮 $f_m(n)$其實是，你有 $1,m,m^2,m^3,\dots$，用這些數字拼出 $n$的方案數，並且這些數字是無序的（即 $m$要出現在 $1$之後， $m^2$在 $m$之後）。

如果要求 $g_m^k(n)$，那麼其實是，你先將 $n$表示成 $n=\sum_{i=1}^k x_i$，然後每個 $x_i$用 $1,m,m^2,m^3,\dots$表示出來，加起來就是，要用： $1,m,m^2,m^3,\dots,1,m,m^2,m^3,\dots,1,m,m^2,m^3,\dots,\dots,\dots$（總共k段）拼出n，然後拼的時候元素要是無序的（即儘管有些數字的值相同，但是標號是不同的，視為不同的數字，然後要滿足標號不減）。

假定現在要求 $g_m^k(n)$（一項）。
顯然數字順序不重要，可以重新寫成 $1,1,1,\dots,1,m,m,m,\dots,m,m^2,m^2,m^2,\dots,m^2,\dots$，每段有k個。

那麼考慮一個普及組級別的dp，設 $F(i,j)$表示考慮了前i個數字，和為j的方案數。顯然有（記第 $i$個數字是 $a_i$）列舉當前數字用了幾個： $F(i,j)=\sum_{k\geq0}F(i-1,j-ka_i)$。
然後可以注意到，假設我已經算出了 $F(i-1)$，那麼因為我是重新排列過數字的順序了，所以之後加入的數字都是 $a_i$的倍數，那麼第二維模 $a_i$的餘數就不會變了。最終只關心n，所以 $F(i,j)$只關心 $j\%a_i=n\%a_i$的那些 $j$。

也就是說，若 $j$不滿足上述條件可以從現在開始不管了。
那麼既然餘數只關心 $n\%a_i$，相當於是個定值，因此現在只需要表示前面的倍數即可，即重新令：
$H(i,j)=F(i,ja_i+n\%a_i)$

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