第1章 線性代數中的線性方程組

重要定理

定理：A為m×n矩陣 下面的都成立或者都不成立
a:對R^m中的每個b，方程Ax = b 有解。
b:R^m中的每個b都是A的列的一個線性組合。
c:A的各列生成R^m。
d:A在每一行都有一個主元位置。

1 線性方程組

1. 若兩個方程組的增廣矩陣是行等價的，則它們具有相同的解集。

2 行化簡與階梯形矩陣

先導元素 階梯形 簡化階梯形
階梯形矩陣的特點：

1. 每一非零行都在每一零行之上。

2. 某一行的先導元素所在的列位於前一行先導元素的右邊。

3. 某一先導元素所在列的下方都是零。

4. 若一個階梯形矩陣還滿足以下性質，則稱它為簡化階梯形：

   
   1.每一非零行的先導元素是1。
   2.每一先導元素1是該元素所在列的唯一非零元素。

5. 一個矩陣可以有很多階梯形，但是隻有一個簡化階梯形。化階梯形為向前步驟，產生唯一簡化階梯形為向後步驟。

3 向量方程

1. 列向量 →向量

2. R^m → m個元素

4 矩陣方程

1. 方程Ax = b 有解當且僅當b是A的各列的線性組合。

2. R^m 中的每個向量都是V₁，V₂,…V_p的線性組合，即Span{v₁,v₂,…v_p} = R^m。

5 線性方程組的解集

1. Ax = b 的解集為 Ax = 0 的解加上一個特解。

6 線性無關與線性相關

1. 【僅有平凡解 → 線性無關】 【 有非平凡解 → 線性相關】

2. 向量組中的向量個數超過每個向量的元素個數 → 線性相關【列數多於行數】

3. 向量組中包含零向量 → 線性相關

7 線性變換

1. Rⁿ → R^m …Rⁿ 稱為定義域，R^m 稱為餘定義域

2. 餘定義域不一定是值域

3. 每個矩陣變換都是線性變換

4. A = [T(e₁) ，T(e₂)，…T(e_n)] 稱為線性變換的 標準矩陣。

5. 存在與唯一性地問題：
   a:滿射 →→ Ax = b 中不能出現[0，0，0…b] →→ A的每一行都有一個主元元素
   b:一對一 →→ Ax = 0 僅有平凡解

8 額外補充

1. 差分方程
2. 基爾霍夫電壓定律