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洛谷3172 BZOJ3930 CQOI2015 選數 莫比烏斯反演 杜教篩

題目連結

題意:
給你 n , k , l , r n,k,l,r

l,r,讓你從 [ l , r ] [l,r] 選一個數,選 n
n
次,總方案數是 ( r l + 1 ) n
(r-l+1)^n
,問選出的 n n 個數的gcd恰好是 k k 的方案數。 n , k , l , r < = 1 e 9 , r l < = 1 e 5 n,k,l,r<=1e9,r-l<=1e5

題解:
考慮反演。
我們設 f ( x ) f(x) 表示gcd是 x x 的倍數的方案數,設 g ( x ) g(x) 表示gcd是 x x 的方案數。那麼我們有 f ( n ) = n d r g ( d ) = ( r k l 1 k ) n f(n)=\sum_{n|d}^rg(d)=(\lfloor\frac{r}{k}\rfloor-\lfloor\frac{l-1}{k}\rfloor)^n 其中 r k l 1 k \lfloor\frac{r}{k}\rfloor-\lfloor\frac{l-1}{k}\rfloor 表示在 [ l , r ] [l,r] 之間有多少個數是 k k 的倍數,只有從這些數中選最後才看 g c d gcd k k k k 的倍數,而一次有這麼多種情況,一共要選 n n 次,於是就是 n n 次方。然後接下來開始莫比烏斯反演。 g ( n ) = n d f ( d ) μ ( d n ) g(n)=\sum_{n|d}f(d)\mu(\lfloor\frac{d}{n}\rfloor) 我們更換列舉物件,改為列舉 n n 的倍數,那麼有 g ( n ) = d = 1 r n f ( d n ) μ ( d ) g(n)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{r}{n}\rfloor}f(dn)\mu(d) 我們要求的是 g ( k ) g(k) g ( k ) = d = 1 r k μ ( d ) ( r d k l 1 d k ) n g(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\mu(d)(\lfloor\frac{r}{dk}\rfloor-\lfloor\frac{l-1}{dk}\rfloor)^n
對於這個式子,對後半部分整除分塊+快速冪,同時用杜教篩處理 μ \mu 的字首和,然後就可以了。

程式碼:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long mod=1e9+7;
long long n,k,l,r;
int vis[1000010],p[1000010],cnt,mu[1000010];
long long sum[1000010],ans;
map<long long,long long> mp;
inline long long ksm(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
} 
inline long long calc(long long x)
{
	if(x<=1000000)
	return sum[x];
	if(mp[x])
	return mp[x];
	long long res=1,j;
	for(long long i=2;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		res=(res-(j-i+1)*calc(x/i)%mod+mod)%mod;
	}
	mp[x]=res;
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
	mu[1]=1;
	sum[1]=1;
	for(int i=2;i<=1000000;++i)
	{
		if(!vis[i])
		{
			p[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=1000000;++j)
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
		sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
	}
	long long j,ji=r/k,jj=(l-1)/k;
	for(long long i=1;i<=ji;i=j+1)
	{
		if(jj/i)
		j=min(jj/(jj/i),ji/(ji/i));
		else
		j=ji/(ji/i);
		ans=(ans+(calc(j)-calc(i-1)+mod)%mod*ksm(ji/i-jj/i,n)%mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}