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題目

1239 尤拉函式之和

分析

尤拉函式 $\phi \left(n\right)$

一個性質

可以證明 $n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$。
下面是一個我理解的很不正經的證明：

列出以 $n$為分母的所有分數： $\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},...,\dfrac{n}{n}$。
可以理解 $\varphi(b)$表示的是以 $b$為分母的最簡真分數的個數。
$\dfrac{a}{b}(a<b)$為最簡分數，當且僅當 $b|n$且 $(a,b)=1$。
你仔細地想， $\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$就表示出了 $\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},...,\dfrac{n}{n}$，於是 $n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$。

嘗試遞推

$\therefore n=\varphi(n)+\sum\limits_{d|n,d<n}\varphi(d)$
$\therefore\varphi(n)=n-\sum\limits_{d|n,d<n}\varphi(d)$
$\therefore f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(i-\sum\limits_{d|i,d<i}\varphi(d)\right)$
$\therefore f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i,d<i}\varphi(d)=\dfrac{n(n+1)}{2}-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i,d<i}\varphi(d)$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i,d<i}\varphi(d)$，算貢獻，則可以等價為： $\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(d)=\sum\limits_{d=1}^{n}\left(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor·\varphi(d)\right)$，下面這個圖可以幫助理解，但我無法言說：

（其中 $k=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$