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• 洛谷 P4548
• BZOJ 1152

Solution

• 看了 yml 大佬的 IOI2018 國家候選隊論文，第一次瞭解到概率生成函式
• orz YML
• 先介紹一下概率生成函式
• 一個離散型隨機變數 $X$ 的概率生成函式為：
• $F$
  ( x ) = ∑ i ≥ 0
  P ( X = i ) x i
  F(x)=\sum_{i\ge0}P(X=i)x^i
• 顯然有 $F(1)=1$
• 概率生成函式的應用之一就是如果按照上面的定義，則 $X$ 的期望為
• $F'(1)$
• 方差為
• $F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2$
• 回到原問題，設隨機變數 $X$ 表示插入多少個字元之後匹配到模式串，其概率生成函式為 $F(x)$
• $g_i$ 表示插入 $i$ 個字元之後沒有匹配到模式串的概率，其一般生成函式為 $G(x)$
• 可以推出兩點性質
• $F(x)+G(x)=xG(x)+1$
• 解釋： $xG(x)+1$ 的第 $i$ （ $i>0$ ）項實際上是表示插入 $i-1$ 個字元後沒有匹配成功的概率
• 而插入 $i-1$ 個字元後沒有匹配成功，就相當於插入 $i$ 個字元之後匹配成功或失敗
• 和 $F(x)+G(x)$ 的第 $i$ （ $i>0$ ）項正好對應
• 而 $F(x)$ 的第 $0$ 項為 $0$ ， $G(x)$ 的第 $0$ 項為 $1$
• $G(x)\times(\frac 1nx)^m=\sum_{i=1}^ma_i\times F(x)\times (\frac 1nx)^{m-i}$
• 上面 $n$ 表示字符集大小， $m$ 表示模式串長度， $a_i$ 表示模式串的長度為 $i$ 的字首和長度為 $i$ 的字尾是否相等（可用 KMP 求出），相等則為 $1$ ，不相等則為 $0$
• 讓我們來解釋下這個看上去沒有實際含義的式子
• 如果我們現在插入了一些字元，但沒有匹配成功
• 那麼如果把長度為 $m$ 的模式串直接追加在我們已經插入的字元後面，就一定能匹配成功，這對應了等號左邊。等號左邊多項式 $i+m$ 次項的意義可以看作匹配成功後不結束操作，但需要滿足在插入 $i$ 個字元時不能匹配成功，在插入 $i+m$ 個字元時恰好長度為 $m$ 的字尾與模式串匹配成功的概率
• 分析一下等號右邊 $i+m$ 次項的含義
• $\sum_{j=1}^ma_jP(X=i+j)(\frac1n)^{m-j}$
• 列舉 $j$ 就相當於列舉第一次匹配成功時已經插入了 $i+j$ 個字元
• 然後還要再插入 $m-j$ 個字元，使得當插入的總字元數達到 $i+m$ 時再次匹配成功
• 這時候就必須滿足模式串的長度為 $j$ 的字首和長度為長度為 $j$ 的字尾相等
• 而 $(\frac 1n)^{m-j}$ 就表示接下來插入的 $m-j$ 個字元必須是模式串的字尾
• 解釋完畢
• 對 $F(x)+G(x)=xG(x)+1$ 兩邊同時求導
• $F'(x)+G'(x)=xG'(x)+G(x)$