題目：寫一個演算法實現2的n次方(n>=512)。

           輸入：一個數字n

           輸出：2的n次方

思路：想要求2^n的值我們首先可能會想到的辦法，就是直接計算，但是由於2^n(n>=512)的值過大，沒有辦法用平常的型別進行儲存，所以編譯器會直接顯示值為0，導致結果錯誤，那麼此時，我們就該思考，應該用什麼來儲存這個過大的值，我們首先可能會考慮到陣列，那麼我們就先用陣列做一下這道題。那麼現在我們要考慮怎麼實現這個2的n次方的演算法，首先申請一個大數字來儲存這個很長的數字，2的n次方就是一個不斷乘2的過程，並且我們首先得到的是個位數，如果個位數大於10，需要與10做除法運算，算出需要進上去的數字，再得到十位數字，那麼如果我們把先得到的數字儲存陣列下標為0的位置，那麼到時候輸出所得數字時，會存在數字倒序的問題，怎麼解決這個問題呢？可以正序儲存數字，倒序打出，或者，直接倒序儲存數字，正序打出，兩者思路基本一致，在這裡，我採用的是倒序儲存數字，正序打出。解決完這個問題後，我們大致就有了思路：

1.申請一個數組，並且初始化，a[1000]={0};   在設一個整型變數  int  b=0; 來儲存進位數字；

2.要求2的n次方就是n個2相乘，所以打的迴圈條件應該是for(int  i=0;i<n;i++)；

3.因為是倒序儲存，所以我們應該設陣列的最後一個元素a[999]=1，因為2^0=1，如果n=0，那麼我們也應該輸出1；

4.第二個遍歷條件應該是陣列的長度，設j=999;while(j>=0)，因為你不知道你要輸出的數有多長，所以要將陣列的長度遍歷一遍，不然可能有數字被丟棄，不能被儲存到，可是這也增加了時間複雜度，這也為我們優化演算法提供了思路；

5.剩下就是乘方演算法具體的核心，我們先算出乘以2並加上進位數後的數字，但是我們最後陣列中要儲存的數字肯定不是這個，因為我們要模擬的是陣列的每一位儲存陣列的一位數，否則又變成和原來一樣的情況。得到這個數字後，先給這個數字除以10得到進位數，在給這個數字取餘，得到最後這個陣列中要儲存的值，再給j--，算後面的位數，以此類推；

6.最後就剩下將陣列打印出來，我們現將陣列正序遍歷，直到第一個不為0的數字停止，再將陣列打印出來。

程式碼如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void fun4(int n)
{
	const int x = 2;
	int a[1000] = { 0 };
	int b = 0;
	a[999] = 1;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int j = 999;
		while (j >= 0)
		{
			a[j] = a[j] * x + b;
			b = a[j] / 10;
			a[j] = a[j] % 10;
			j--;
		}
	}
	int i = 0;
	for (i = 0; i < 1000; i++)
	{
		if (a[i] != 0)
		{
			break;
		}
	}
	for (; i < 1000; i++)
	{
		cout << a[i];
	}
	cout << endl;
}
int main()
{
    int n = 0;
	cin >> n;
	fun4(n);
    return 0;
}
 

結果如下：

因為這種演算法的時間複雜度實在過大，我們需要將這種演算法改進一下，這種演算法的時間複雜度過大，就是因為在儲存數字時，每次都遍歷了999，主要是因為陣列沒辦法知道自己的陣列內到底不為0，在這裡我對迴圈進行了優化，但是，2^n的演算法發生了一點小變化。

程式碼改進為：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void fun5(int n)
{
	char b[1000];
	int a[1000] = { 0 };
	a[0] = 1;
	int num = 1,j;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < num; j++)
		{
			a[j] = a[j] * 2;
		}
		
		for (j = 0; j < num; j++)
		{
			if (a[j]>=10)
			{
				a[j + 1] = a[j] / 10 + a[j + 1];
				a[j] = a[j] % 10;
			}
		}
		if (a[j] != 0)
		{
			num++;
		}
	}
	for (j = 0; j < num; j++)
	{
		b[j] = a[num-1-j] + '0';
	}
	b[j]='\0';
}
int main()
{
    int n = 0;
	cin >> n;
	fun5(n);
    return 0;
}

這道題還可以用容器來做，用容器中帶的函式來計算容器中一共有幾個數字 

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> vc;
void fun3(int n)
{
	vc.push_back(1);

	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int size = vc.size();
		int b = 0;
		for (int j = 0; j < size; j++)
		{
			vc[j] = vc[j] * 2 + b;
			b = vc[j] / 10;
			vc[j] = vc[j] % 10;	
		}
		if (b != 0)
		{
			vc.push_back(b);
		}
	}
}
int main()
{
    int n = 0;
	cin >> n;
	fun3(n);
	vector<int>::reverse_iterator it = vc.rbegin();
	for (; it < vc.rend(); it++)
	{
		cout << *it;
	}
	cout << endl;
    return 0;
}

我們可以看出儲存一個大數，有很多種方法可以處理，比如用陣列，用容器