尤拉通路: 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的通路

歐拉回路: 通過圖中每條邊且只通過一次，並且經過每一頂點的迴路

有向圖的基圖：忽略有向圖所有邊的方向，得到的無向圖稱為該有向圖的基圖。 

無向圖

  設G是連通無向圖，則稱經過G的每條邊一次並且僅一次的路徑為尤拉通路；

 如果尤拉通路是迴路（起點和終點是同一個頂點），則稱此迴路是歐拉回路

  具有歐拉回路的無向圖G成為尤拉圖

有向圖

（1）設D是有向圖，D的基圖連通，則稱經過D的每條邊一次並且僅有一次的有向路徑為 有向尤拉通路

（2）如果有向尤拉通路是有向迴路，則稱此有向迴路為  有向歐拉回路

（3）具有有向歐拉回路的圖D稱為有向尤拉圖

定理

 無向圖G存在尤拉通路的充要條件是：G為連通圖，並且G僅有兩個奇度結點（度數為奇數的頂點）或者無奇度結點。

推論

（1） 當G是僅有兩個奇度結點的連通圖時，G的尤拉通路必以此兩個結點為端點；

（2）當G是無奇度結點的連通圖時，G必有歐拉回路

（3）G為尤拉圖（存在歐拉回路）的充分必要條件是  G為無奇度結點的連通圖

（有向圖） 定理

有向圖D存在尤拉通路的充要條件是：D為有向圖，D的基圖連通，並且所有頂點的出度與入度相等；或者  除兩個頂點外，其餘頂點的出度與入度都相等，而這兩個頂點中一個頂點的出度與入度之差為1，另一個頂點的出度與入度之差為-1.

推論

（1）當D除出、入度之差為1，-1的兩個頂點之外，其餘頂點的出度與入度相等時，D的有向尤拉通路必以出、入度之差為1的頂點作為始點，以出、入度之差為-1的頂點作為終點。

（2）當D的所有頂點的出、入度都相等時，D中存在有向歐拉回路。

（3）有向圖D為有向尤拉圖的充要條件是  D的基圖為連通圖，並且所有頂點的出、入度都相等。

歐拉回路的求解

兩種方法：（1）DFS搜尋  （Fleury）佛羅萊演算法

（1）DFS搜尋 思想求解歐拉回路的思路為：利用尤拉定理判斷出一個圖存在尤拉通路或歐拉回路後，選擇一個正確的起始頂點，用DFS演算法遍歷所有的邊（每條邊只遍歷一次），遇到走不通就回退。在搜尋前進方向上將遍歷過的邊按順序記錄下來。這組邊的排列就組成了一條尤拉通路或迴路。

（2） （Fleury）佛羅萊演算法

設G為一個無向尤拉圖，求G中一條歐拉回路的演算法如下：

（1） 任取G中一頂點v0，令P0=v0；

（2）假設沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到頂點vi，按下面方法從E(G)-{e1,e2,...,ei}中選ei+1。

        ei+1與vi相關聯

        除非無別的邊可供選擇，否則ei+1不應該是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的橋。

（3）當（2）不能再進行時演算法停止。

        可以證明的是，當演算法停止時，所得到的簡單迴路Pm=v0e1v1e2v2......emvm，（vm=v0）為G中一條歐拉回路。