Golden Tiger Claw（二分圖最佳匹配）

阿新 • • 發佈：2018-12-09

【題意】給一個 $n * n$ 的矩陣，每個格子中有正整數 $w [i] [j]$ ，試為每行和每列分別確定一個數字 $r o w [i]$ 和 $c o l [i]$ ，使得任意格子 $w [i] [j] <= r o w [i] + c o l [j]$ 恆成立。先輸 $r o w$ ，再輸出 $c o l$ ，再輸出全部總和（總和應儘量小） $(n <= 500, w [i] [j] <= 100)$

【思路】　　本題與匹配無關，但可以用KM演算法解決。　　KM演算法中的頂標就是保持了Lx[i]+ly[j]>=g[i][j]再求最大權和匹配的，但這個最大權和並沒有關係。我們可以將row[i]看成一個男的，col[i]看成一個女的，這樣男女的總數就相等。

　　一般來說，Lx[i]或Ly[i]僅需要取該行/列中最大的那個數即可保證滿足要求，但是這樣太大了，可以通過調整來使得總和更小。而KM演算法的過程就是一個調整的過程，每一對匹配的男女的那條邊的權值就會滿足等號 w[i][j]=row[i]+col[j]，至少需要一個來滿足等號，這樣才能保證row[i]+col[j]是達到最小的，即從j列看，col[j]滿足條件且最小，從i行看，row[i]滿足條件且最小。這剛好與KM演算法求最大權和一樣。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef int type;

const type inf = 2e9 
;
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 505;

int n, m;
int matchx[maxn], matchy[maxn];
int visx[maxn], visy[maxn];
type lx[maxn], ly[maxn];
type w[maxn][maxn];
type slack[maxn];

bool dfs(int x) {
    visx[x] = 1;
    for (int y = 0; y < m; ++y) {
        if (visy[y]) continue;
        type tmp = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
        if 
 (tmp == 0) {
            visy[y] = 1;
            if (matchy[y] == -1 || dfs(matchy[y])) {
                matchx[x] = y;
                matchy[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else {
            slack[y] = min(slack[y], tmp);
        }
    }
    return false;
}

void KM() {
    memset(matchy, -1, sizeof(matchy));
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        lx[i] = -inf;
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) slack[j] = inf;
        while (1) {
            memset(visx, 0, sizeof(visx));
            memset(visy, 0, sizeof(visy));
            if (dfs(i)) break;
            type d = inf;
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (!visy[j]) d = min(d, slack[j]);
            }
            for (int j = 0; j < n; ++j) { if (visx[j]) lx[j] -= d; }
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                if (visy[j]) ly[j] += d;
                else slack[j] -= d;
            }
        }
    }
}

int main() {
    while (scanf("%d", &n) == 1) {
        m = n;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                scanf("%d", &w[i][j]);
            }
        }
        KM();
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<n;++i){
            printf("%d%c",lx[i],i+1==n?'\n':' ');
            ans+=lx[i];
        }
        for(int i=0;i<m;++i){
            printf("%d%c",ly[i],i+1==m?'\n':' ');
            ans+=ly[i];
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

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