最小生成樹（資料結構）
最小生成樹-Prim演算法和Kruskal演算法
Prim演算法
1.概覽
普里姆演算法（Prim演算法），圖論中的一種演算法，可在加權連通圖裡搜尋最小生成樹。意即由此演算法搜尋到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裡的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現；並在1957年由美國電腦科學家羅伯特·普里姆獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普里姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普里姆－亞爾尼克演算法。
2.演算法簡單描述
1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},為空；
3).重複下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；
4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
下面對演算法的圖例描述
| 圖例 | 說明 | 不可選 | 可選 | 已選（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 | - | - | - |
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頂點D被任意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A |
C, G | A, B, E, F | D |
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下一個頂點為距離D或A最近的頂點。B距D為9，距A為7，E為15，F為6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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演算法繼續重複上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。 | 無 | C, E, G | A, D, F, B |
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這裡，可供選擇的頂點只有C和G。C距E為5，G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。 | 無 | C, G | A, D, F, B, E |
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頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。 | 無 | G | A, D, F, B, E, C |
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現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。 | 無 | 無 | A, D, F, B, E, C, G |
3.簡單證明prim演算法
反證法：假設prim生成的不是最小生成樹
1).設prim生成的樹為G0
2).假設存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 則在Gmin中存在<u,v>不屬於G0
3).將<u,v>加入G0中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是因為<u,v>∈Gmin)
4).這與prim每次生成最短邊矛盾
5).故假設不成立，命題得證.
4.演算法程式碼實現(未檢驗)
#define MAX 100000 #define VNUM 10+1 //這裡沒有ID為0的點,so id號範圍1~10 int edge[VNUM][VNUM]={/*輸入的鄰接矩陣*/}; int lowcost[VNUM]={0}; //記錄Vnew中每個點到V中鄰接點的最短邊 int addvnew[VNUM]; //標記某點是否加入Vnew int adjecent[VNUM]={0}; //記錄V中與Vnew最鄰近的點 void prim(int start) { int sumweight=0; int i,j,k=0; for(i=1;i<VNUM;i++) //頂點是從1開始 { lowcost[i]=edge[start][i]; addvnew[i]=-1; //將所有點至於Vnew之外,V之內，這裡只要對應的為-1，就表示在Vnew之外 } addvnew[start]=0; //將起始點start加入Vnew adjecent[start]=start; for(i=1;i<VNUM-1;i++) { int min=MAX; int v=-1; for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外尋找最短路徑 { min=lowcost[j]; v=j; } } if(v!=-1) { printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]); addvnew[v]=0; //將v加Vnew中 sumweight+=lowcost[v]; //計算路徑長度之和 for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j]) { lowcost[j]=edge[v][j]; //此時v點加入Vnew 需要更新lowcost adjecent[j]=v; } } } } printf("the minmum weight is %d",sumweight); }
5.時間複雜度
這裡記頂點數v，邊數e
鄰接矩陣:O(v2) 鄰接表:O(elog2v)
Kruskal演算法
1.概覽
Kruskal演算法是一種用來尋找最小生成樹的演算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim演算法和Boruvka演算法等。三種演算法都是貪婪演算法的應用。和Boruvka演算法不同的地方是，Kruskal演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。
2.演算法簡單描述
1).記Graph中有v個頂點，e個邊
2).新建圖Graphnew，Graphnew中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊
3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序
4).迴圈：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中
if 這條邊連線的兩個節點於圖Graphnew中不在同一個連通分量中
新增這條邊到圖Graphnew中
圖例描述：
首先第一步，我們有一張圖Graph，有若干點和邊
將所有的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的依據。這裡再次體現了貪心演算法的思想。資源排序，對區域性最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖
在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裡邊的權重也是5
依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面繼續選擇， BC或者EF儘管現在長度為8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來連線，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裡上圖的連通線用紅色表示了）。
最後就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。最後成功的圖就是右：
3.簡單證明Kruskal演算法
對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal演算法對任意n階圖適用。
歸納基礎：
n=1，顯然能夠找到最小生成樹。
歸納過程：
假設Kruskal演算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合併操作，即把u與v合為一個點v'，把原來接在u和v的邊都接到v'上去，這樣就能夠得到一個k階圖G'(u,v的合併是k+1少一條邊)，G'最小生成樹T'可以用Kruskal演算法得到。
我們證明T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。
用反證法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，否則，可以用<u,v>加入到T中，形成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，形成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}，是G'的生成樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。於是假設不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成樹，Kruskal演算法對k+1階圖也適用。
由數學歸納法，Kruskal演算法得證。
4.程式碼演算法實現
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //頂點表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表 int n,e; //圖中當前的頂點數和邊數 }MGraph; typedef struct node { int u; //邊的起始頂點 int v; //邊的終止頂點 int w; //邊的權值 }Edge; void kruskal(MGraph G) { int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; int vset[VertexNum]; //輔助陣列，判定兩個頂點是否連通 int E[EdgeNum]; //存放所有的邊 k=0; //E陣列的下標從0開始 for (i=0;i<G.n;i++) { for (j=0;j<G.n;j++) { if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) { E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j]; k++; } } } heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按權值從小到大排列 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化輔助陣列 { vset[i]=i; } k=1; //生成的邊數，最後要剛好為總邊數 j=0; //E中的下標 while (k<G.n) { sn1=vset[E[j].u]; sn2=vset[E[j].v]; //得到兩頂點屬於的集合編號 if (sn1!=sn2) //不在同一集合編號內的話，把邊加入最小生成樹 { printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<G.n;i++) { if (vset[i]==sn2) { vset[i]=sn1; } } } j++; } }
時間複雜度：elog2e e為圖中的邊數