LCM(i,j)求和（莫比烏斯函式）

原題：

BZOJ2693

題意：

求 $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i, j)$

$O (N)$ 版本：

遇到lcm首先是換成gcd， $A n s = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \frac{i * j}{g c d (i, j)}$ ，再換成因子角度，設： $g c d (i, j) = d, m i n (n, m) = N$ ，有：

\sum_{d = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [g c d (i, j) == d] \frac{i * j}{d}

而

g c d == d

按照套路可以進行莫比烏斯的倍數反演：

g (d) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [g c d (i, j) == d] i * j （ 去 掉 \sum_{d = 1}^{N} 和 / d 才 是 积 性 函 数 ， 才 容 易 反 演 ） 构 造 ： f (d) = \sum_{d | D}^{N} g (D) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [d | g c d (i, j)] i * j 显 然 ： f (d) = d^{2} * \frac{(1 + [\frac{n}{d}]) ([\frac{n}{d}])}{2} * \frac{(1 + [\frac{m}{d}]) ([\frac{m}{d}])}{2} 反 演 ： g (d) = \sum_{d | D}^{N} u (\frac{D}{d}) f (D) 那 么 ： g (1) = \sum_{i = 1}^{N} u (i) f (i) 代 入 ： A n s = \sum_{d = 1}^{N} \frac{1}{d} \sum_{d | D}^{N} u (\frac{D}{d}) f (D) 令 i = D / d 得 ： A n s = \sum_{d = 1}^{N} \frac{1}{d} \sum_{i = 1}^{[\frac{N}{d}]} u (i) f (i d) 最 后 带 入 f 得 ： A n s = \sum_{d = 1}^{N} d \sum_{i = 1}^{[\frac{N}{d}]} u (i) * i^{2} * \frac{(1 + [\frac{n}{i d}]) ([\frac{n}{i d}])}{2} * \frac{(1 + [\frac{m}{i d}]) ([\frac{m}{i d}])}{2}

LCM(i,j)求和 （莫比烏斯函式）