Butterworth LPF

公式

利用一下方程得到一個和影象相同尺寸的濾波器 $H$，進行濾波：
$H(u,$

濾波效果

從頻域的角度來看，觀察我們用來構造濾波器的公式，當維度 $n$保持不變時，隨著截止頻率 $D_0$的增大，分母越小，分母的增加速度也越小，也就是濾波器從中心往周圍擴散的下降趨勢變小了，變得較為平坦，我們可以從下圖影象的濾波器的變化可以看出，濾波器亮度高的部分逐漸展開變寬。這也意味著更多的高頻成分被保留了，影象的細節也就越明顯了。

從空域的角度來看，考慮高斯低通濾波器，再考慮高斯濾波器的傅立葉變換，高斯濾波器的傅立葉變換之後還是一個高斯濾波器，那麼顯然，高斯濾波器傅立葉反變換之後的結果也是一個高斯濾波器，也就是在空域中。Butterworth低通濾波器結構與效果和高斯低通濾波器相似，那麼，當我們對Butterworth反變換與影象在空域中進行卷積，也將會類似在空域中進行高斯濾波後的效果，即對圖片進行平滑操作，影象會變得模糊。參考一下空域卷積和到頻域的轉換式子：
$f(x, y) * g(x, y) \longleftrightarrow F(x, y) \cdot G(x, y)$
即，空域的卷積相當於頻域率的逐點相乘的結果，反過來也就是說，在頻域中進行Butterworth濾波，相當於對Butterworth濾波器反變換到空域中和影象做卷積。