Problem

• 維護一個至多 $n$節點的森林， $Q$個操作，支援連邊和查詢兩點 $L$
  C A LCA .

Data constraint

• $1\le N\le$
  100000 ， 1 ≤ Q ≤ 100000 1\le N\le 100000，1\le Q\le 100000

Solution

1. 離線做法

• 首先考慮比較簡單的離線做法.

• 我們可以考慮先把最終的森林給構出來.

• 再每棵樹上任意找一點 $Rt$作為原始根，然後求個倍增陣列.

• 然後掃一遍詢問，並查集維護到每一個詢問操作時，兩個點 $u,v$所在的樹的真正根 $root$.

• 那麼答案其實就是擁有 $l,r,root$兩兩 $LCA$的最大深度的那個點.

• 具體證明可以分類討論，這是一種很經典的套路.

• 其實這種套路在5783. 【省選模擬2018.8.8】樹 這道題裡也出現了，當時我亂搞搞出來了，但這一次卻沒有想到.

2.線上做法

• 為了使自己印象更深刻一些，下次遇到這種求LCA的題目能更靈活變通，我還打了一下線上做法.

• 不難發現離線做法的時間複雜度實際上就是找 $LCA$的時間複雜度，這個可以在 $O(nlogn)$時間內做到.

• 但如果強制線上，我們需要怎樣做呢？

• 很容易想到的是啟發式合併倍增陣列.

• 但問題是合併後很有可能根會發生改變，也就是倍增的根與當前真正的根不一樣.

• 顯然，這就是上面離線所說的，需要做的3次LCA.

• 時間複雜度近似 $O(nlog^2n)$，實際上遠遠比這小.