線性代數與方程的關係（筆記）
阿新 • • 發佈：2018-12-10
本筆記在Gilbert Strang教授教學基礎上，增加了我自己的理解，如有不妥之處，還請大家批評指正。教授的學習視訊如下：方程組的幾何解釋
1、線性代數的基本問題
求解線性方程組是線性代數的基本問題。下面我們圍繞一個二元一次方程組討論相關內容。
2、從行影象理解方程組
從幾何意義角度出發，方程組中每一個等式代表一個直線。用python畫出兩個方程的影象：
兩條直線相交於(1,2)。
3、從列影象理解方程組
從係數角度來考慮問題，將變數和係數分開組成新的形式。
變數x、y的係數都是以向量的形式表示。這兩個向量經過x和y放大組合後變成向量
(1,2)是方程組的解，此時的線性組合的影象如下：
4、方程組的矩陣形式
我們再把列影象的代數形式進一步深化，也就是已知的方程組係數放一起，變數放一起，於是形成了係數矩陣和變數向量相乘的形式。
令：
方程組就簡化成了：
與此同時，我們發現了兩種計算b的方式：
為什麼X是列向量的形式而不是行向量的形式?我們將AX=b簡化成行和列的數量：A:(2,2)、X:(2,1)、b:(2,1)。在這樣的組合中，A是2行,X是兩行，相乘後b是2行；A是2列，X是1列，最後相乘b變成1列，我們可以理解為A決定b的行數，X決定b的列數。如果我們把X:(1,2),也就是行向量的形式[x, y]，那麼A是2行，X是1行，相乘b是2行；而A是2列，X是2列，最後b卻是1列，這個規則沒法解釋。
- 行計算
行計算是根據方程組獲得。其中:0 = 2x-y3 = -x+2y我們推廣到一般的形式
進一步我們可以推廣到三元一次方程...
- 列計算
列計算的方式是根據方程組的向量組合形式獲得
b就是A中列向量的線性組合。
4、小結
線性代數是由求解線性方程組引出。有兩種理解方程組的形式：第一種是我們一直都學習的一個方程一個影象的形式，方程組的解就是這些圖形相交的部分；第二種是向量的形式，向量形式將方程組簡化為向量方程式，其解就是線性組合的係數。再第二種的基礎上，又延伸出方程組的矩陣形式，這種形式將方程組中已知的係數和未知的變數從形式上區分開來。同時有行影象和列影象，我們理解了矩陣形式的乘法含義。