認識AOE網

　　有向圖中，用頂點表示活動，用有向邊表示活動之間開始的先後順序，則稱這種有向圖為AOV網路；AOV網路可以反應任務完成的先後順序（拓撲排序）。

　　在AOV網的邊上加上權值表示完成該活動所需的時間，則稱這樣的AOV網為AOE網，如下圖：　

　　圖中，頂點表示事件（能被觸發，兩特徵屬性：最早發生時間Ve(j);最晚發生時間Vl(j)），邊表示活動（能被開始，兩特徵屬性：最早開始時間e(i)；最晚開始時間l(i)），權表示活動持續時間，通常用AOE網來估算工程完成的時間

兩條原則：

　　Ø  只有某頂點所代表的事件發生後，從該頂點出發的各活動才能開始

　　Ø  只有進入某頂點的各活動都結束，該頂點所代表的事件才能發生

計算關鍵路徑

　　首先，在AOE網中，從始點到終點具有最大路徑長度（該路徑上的各個活動所持續的時間之和）的路徑為關鍵路徑。

計算關鍵路徑，只需求出上面的四個特徵屬性，然後取e(i)=l(i)的邊即為關鍵路徑上的邊（關鍵路徑可能不止一條）。

　　先來看看四個特徵屬性的含義：

　　Ø Ve(j)：是指從始點開始到頂點Vk的最大路徑長度

　　　計算技巧：

　　　(1)從前向後，取大值：直接前驅結點的Ｖe(j)＋到達邊（指向頂點的邊）的權值，有多個值的取較大者

　　　(2)首結點Ve(j)已知，為0

　　如上圖各頂點（事件）的Ve(j)： （從V1開始）

　　Ø  Vl(j)：在不推遲整個工期的前提下，事件vk允許的最晚發生時間

　　　計算技巧：

　　　(1)從後向前，取小值：直接後繼結點的Ｖl(j) –發出邊（從頂點發出的邊）的權值，有多個值的取較小者;

　　　(2)終結點Vl(j)已知，等於它的Ve(j)）

　　如上圖各頂點（事件）的Vl(j)： （從V7開始,它的最早、最晚發生時間相同,都為10）：

　　Ø  e(i): 若活動ai由弧<vk,vj>表示，則活動ai的最早開始時間應該等於事件vk的最早發生時間。因而，有：e[i]=ve[k];（即：邊（活動）的最早開始時間等於，它的發出

如上圖各邊（活動）的e(i)：

　　Ø  l(i): 若活動ai由弧<vk,vj>表示，則ai的最晚開始時間要保證事件vj的最遲發生時間不拖後。 因而有：l[i]=vl[j]-len<vk,vj>1（為邊（活動）的到達頂點的最晚發生時間減去邊的權值）

如上圖各邊（活動）的l(i)：

　　至此已介紹完了四個特徵屬性的求法，也求出了上圖中邊的e(i)和l(i),取出e(i)=l(i)的邊為a1、a2、a4、a8、a9，即為關鍵路徑上的邊，所以關鍵路徑有兩條：a1 a4 a9和 a2 a8 a9

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第二個例子對比一下

（最早發生，從前往後算；最遲發生，從後往前算。）

總結

　　求關鍵路徑，只需理解頂點（事件）和邊（活動）各自的兩個特徵屬性以及求法即可：

　　　Ø  先根據首結點的Ve(j)=0由前向後計算各頂點的最早發生時間

　　　Ø  再根據終結點的Vl(j)等於它的Ve(j)由後向前依次求解各頂點的最晚發生時間

　　　Ø  根據邊的e(i)等於它的發出頂點的Ve(j)計算各邊的最早開始時間（最早開始，對應最早發生）

　　　Ø  根據邊的l(i)等於它的到達頂點的Vl(j)減去邊的權值計算各邊的最晚開始時間（最晚開始，對應最晚發生）