例題1

求

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \arccos({\sin{x}}) dx =$

【分析】目標：$arccos(\cos x) = x$ 即我們常說的：$f^{-1} \cdot f = 1$
此時，$x$ 是有定義域的，因為$\arccos$函式是有主值區間的，故 $x$ 的定義域是 $[0,\pi]$。
這裡需要$sin$

$\Rightarrow \arccos(\sin x) = \arccos\bigl(\cos(- \frac{\pi}{2}+x)\bigr), -\frac{\pi}{2}+x \in [0,\pi] \\ x \in [ \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\\ \arccos(\sin x) = - \frac{\pi}{2} + x\\$

$\therefore \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \arccos({\sin{x}}) dx = \pi \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{2}$

例題2

求
$\int \frac{d_x}{\sin 2x + 2 \sin x}$

【分析】

$分母 = \sin 2x + 2 \sin x \\ = 2 \sin x ( \cos x + 1 ) \\ = 2 \sin x \cdot 2 \cos ^2 \frac{x}{2} \\ = 8 \cdot \sin \frac{x}{2} \cos ^3 \frac{x}{2} \\ = 8 \cdot \tan \frac{x}{2} \cos ^4 \frac{x}{2} \\ \Rightarrow I = \int \frac{1}{8 \cdot \tan \frac{x}{2} \cos ^4 \frac{x}{2}} \\=2 \cdot \frac{1}{8}\int \frac{1 + \tan ^2 \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} d\tan \frac{x}{2} \\=\frac{1}{4}(\ln |\tan \frac{x}{2}| + \frac{1}{2} \tan ^2 \frac{x}{2})+C$

備註：
$\frac{1}{\cos ^2 \frac{x}{2}} = \sec ^2 \frac{x}{2} = 1 + \tan ^2 \frac{x}{2} \\ ({\tan x})'= \sec ^2 x \\ \frac{d\tan x}{dx} = \sec ^2 x \\ d\tan x = \sec ^2 x \cdot dx\\$

這神奇的一撇兒，是拉格朗日的發明，然而，萊布尼茲使用了d比dx。大家都在歡樂地說，啥啥啥對x求導。