要理解P問題、NP問題、NPC問題、NP-hard問題，需要先弄懂幾個概念：

• 什麼是多項式時間？
• 什麼是確定性演算法？什麼是非確定性演算法？
• 什麼是規約/約化？

多項式時間（Polynomial time）

什麼是時間複雜度？

時間複雜度並不是表示一個程式解決問題需要花多少時間，而是當程式所處理的問題規模擴大後，程式需要的時間長度對應增長得有多快。也就是說，對於某一個程式，其處理某一個特定資料的效率不能衡量該程式的好壞，而應該看當這個資料的規模變大到數百倍後，程式執行時間是否還是一樣，或者也跟著慢了數百倍，或者變慢了數萬倍。

不管資料有多大，程式處理所花的時間始終是那麼多的，我們就說這個程式很好，具有$O$

(1)O(1)的時間複雜度，也稱常數級複雜度；資料規模變得有多大，花的時間也跟著變得有多長，比如找n個數中的最大值這個程式的時間複雜度就是$O(n)$，為線性級複雜度，而像氣泡排序、插入排序等，資料擴大2倍，時間變慢4倍的，時間複雜度是$O(n^2)$，為平方級複雜度。還有一些窮舉類的演算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是$O(a^n)$的指數級複雜度，甚至$O(n!)$的階乘級複雜度。

不會存在 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\*' at position 4: O(2\̲*̲n^2)

的複雜度，因為前面的那個"2"是係數，根本不會影響到整個程式的時間增長。同樣地，$O(n^3+n^2)$ 的複雜度也就是$O(n^3)$的複雜度。因此，我們會說，一個KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\*' at position 7: O(0.01\̲*̲n^3)的程式的效率比O(100*n^2)的效率低，儘管在n很小的時候，前者優於後者，但後者時間隨資料規模增長得慢，最終$O(n^3)$的複雜度將遠遠超過$O(n^2)$。我們也說，$O(n^{100})$的複雜度小於$O$

(1.01n)O(1.01^n)的複雜度。

容易看出，前面的幾類複雜度被分為兩種級別，其中後者的複雜度無論如何都遠遠大於前者。像$O(1)$,$O(\ln(n))$,$O(n^a)$等，我們把它叫做多項式級複雜度，因為它的規模n出現在底數的位置；另一種像是$O(a^n)$和$O(n!)$等，它是非多項式級的複雜度，其複雜度計算機往往不能承受。當我們在解決一個問題時，我們選擇的演算法通常都需要是多項式級的複雜度，非多項式級的複雜度需要的時間太多，往往會超時，除非是資料規模非常小。

確定性演算法與非確定性演算法

確定性演算法：

設A是求解問題B的一個解決演算法，在演算法的整個執行過程中，每一步都能得到一個確定的解，這樣的演算法就是確定性演算法。

非確定性演算法：

設A是求解問題B的一個解決演算法，它將問題分解成兩部分，分別為猜測階段和驗證階段，其中

• 猜測階段：在這個階段，對問題的一個特定的輸入例項x產生一個任意字串y，在演算法的每一次執行時，y的值可能不同，因此，猜測以一種非確定的形式工作。
• 驗證階段：在這個階段，用一個確定性演算法（有限時間內）驗證。①檢查在猜測階段產生的y是否是合適的形式，如果不是，則演算法停下來並得到no；② 如果y是合適的形式，則驗證它是否是問題的解，如果是，則演算法停下來並得到yes，否則演算法停下來並得到no。它是驗證所猜測的解的正確性。

規約/約化

問題A可以約化為問題B，稱為“問題A可規約為問題B”，可以理解為問題B的解一定就是問題A的解，因此解決A不會難於解決B。由此可知問題B的時間複雜度一定大於等於問題A。

《演算法導論》中有一個例子：現在有兩個問題：求解一個一元一次方程和求解一個一元二次方程。那麼我們說，前者可以規約為後者，意即知道如何解一個一元二次方程那麼一定能解出一元一次方程。我們可以寫出兩個程式分別對應兩個問題，那麼我們能找到一個“規則”，按照這個規則把解一元一次方程程式的輸入資料變一下，用在解一元二次方程的程式上，兩個程式總能得到一樣的結果。這個規則即是：兩個方程的對應項係數不變，一元二次方程的二次項係數為0。

從規約的定義中我們看到，一個問題規約為另一個問題，時間複雜度增加了，問題的應用範圍也增大了。通過對某些問題的不斷規約，我們能夠不斷尋找複雜度更高，但應用範圍更廣的演算法來代替複雜度雖然低，但只能用於很小的一類問題的演算法。存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那麼所有的NP問題都解決了。這種問題的存在難以置信，並且更加不可思議的是，這種問題不只一個，它有很多個，它是一類問題。這一類問題就是傳說中的NPC問題，也就是NP-完全問題。

P類問題、NP類問題、NPC問題、NP難問題

1. P類問題：能在多項式時間內可解的問題。

2. NP類問題：在多項式時間內“可驗證”的問題。也就是說，不能判定這個問題到底有沒有解，而是猜出一個解來在多項式時間內證明這個解是否正確。即該問題的猜測過程是不確定的，而對其某一個解的驗證則能夠在多項式時間內完成。P類問題屬於NP問題，但NP類問題不一定屬於P類問題。

3. NPC問題：存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那麼所有的NP問題都解決了。其定義要滿足2個條件：

• 它是一個NP問題；
• 所有NP問題都能規約到它。

4. NP難問題：NP-Hard問題是這樣一種問題，它滿足NPC問題定義的第二條但不一定要滿足第一條（就是說，NP-Hard問題要比 NPC問題的範圍廣，NP-Hard問題沒有限定屬於NP），即所有的NP問題都能約化到它，但是他不一定是一個NP問題。NP-Hard問題同樣難以找到多項式的演算法，但它不列入我們的研究範圍，因為它不一定是NP問題。即使NPC問題發現了多項式級的演算法，NP-Hard問題有可能仍然無法得到多項式級的演算法。事實上，由於NP-Hard放寬了限定條件，它將有可能比所有的NPC問題的時間複雜度更高從而更難以解決。 以上四個問題之間的關係如下圖所示：

P=NP？

• 此處會再次從不同的角度來討論P與NP的定義。

“P=NP?” 通常被認為是電腦科學最重要的問題。在很早的時候，就有個數學家毫不客氣的指出，P=NP? 是個愚蠢的問題，並且為了嘲笑它，專門在4月1號寫了一篇“論文”，稱自己證明了 P=NP。

首先，我們要搞清楚什麼是“P=NP?” 為此，我們必須先了解一下什麼是“演算法複雜度”。為此，我們又必須先了解什麼是“演算法”。我們可以簡單的把“演算法”想象成一臺機器，就跟絞肉機似的。我們給它一些“輸入”，它就給我們一些“輸出”。比如，絞肉機的輸入是肉末，輸出是肉渣。牛的輸入是草，輸出是奶。“加法器”的輸入是兩個整數，輸出是這兩個整數的和。“演算法理論”所討論的問題，就是如何設計這些機器，讓它們更加有效的工作。就像是說如何培育出優質的奶牛，吃進相同數量的草，更快的產出更多的奶。

世界上的計算問題，都需要“演算法”經過一定時間的工作（也叫“計算”），才能得到結果。計算所需要的時間，往往跟“輸入”的大小有關係。你的牛吃越是多的草，它就需要越是長時間才能把它們都變成奶。這種草和奶的轉換速度，通常被叫做“演算法複雜度”。演算法複雜度通常被表示為一個函式f(n)，其中n是輸入的大小。比如，如果我們的演算法複雜度為n^2，那麼當輸入10個東西的時候，它需要100個單元的時間才能完成計算。當輸入100 個東西的時候，它需要10000個單元的時間才能完成。當輸入1000個數據的時候，它需要1000000個單元的時間。所謂的“P時間”，多項式時間，就是說這個複雜度函式f(n)是一個多項式。 “P=NP?”中的“P”，就是指所有這些複雜度為多項式的演算法的“集合”，也就是“所有”的複雜度為多項式的演算法。為了簡要的描述以下的內容，我定義一些術語：

• “f(n)時間演算法”=“能夠在f(n)時間之內，解決某個問題的演算法”

當f(n)是個多項式（比如$n^2$）的時候，這就是“多項式時間演算法”（P時間演算法）。當f(n)是個指數函式（比如$2^n$）的時候，這就是“指數時間演算法”（EXPTIME演算法）。很多人認為NP問題就是需要指數時間的問題，而NP跟EXPTIME，其實是風馬牛不相及的。很顯然，P不等於EXPTIME，但是P是否等於NP，卻沒有一個結論。

現在我來解釋一下什麼是NP。通常的計算機，都是確定性（deterministic）的。它們在同一個時刻，只有一種行為。如果用程式來表示，那麼它們遇到一個條件判斷（分支）的時候，只能一次探索其中一條路徑。比如：

if (x == 0) {
    one();
}
else {
    two();
}

在這裡，根據x的值是否為零，one()和two()這兩個操作，只有一個會發生。然而，有人幻想出來一種機器，叫做“非確定性計算機”（nondeterministic computer），它可以同時執行這程式的兩個分支，one()和two()。這有什麼用處呢？它的用處就在於，當你不知道x的大小的時候，根據one()和two()是否“執行成功”，你可以推斷出x是否為零。這種方式可以同時探索多種可能性。這不是普通的“平行計算”，因為每當遇到一個分支點，非確定性計算機就會產生新的計算單元，用以同時探索這些路徑。這機器就像有“分身術”一樣。當這種分支點存在於迴圈（或者遞迴）裡面的時候，它就會反覆的產生新的計算單元，新的計算單元又產生更多的計算單元，就跟細胞分裂一樣。一般的計算機都沒有 這種“超能力”，它們只有固定數目的計算單元。所以他只能先探索一條路徑，失敗之後，再回過頭來探索另外一條。所以，它們似乎要多花一些時間才能得到結果。到這裡，基本的概念都有了定義，於是我們可以圓滿的給出P和NP的定義。P和NP是這樣兩個“問題的集合”：

P = “確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題 NP = “非確定性計算機”能夠在“多項式時間”解決的所有問題 （注意它們的區別，僅在於“確定性”或者是“非確定性”。）

“P=NP?”問題的目標，就是想要知道P和NP這兩個集合是否相等。為了證明兩個集合（A和 B）相等，一般都要證明兩個方向：

1. A 包含 B；
2. B 包含 A。

上一個標題中我們已經說過NP包含了P。因為任何一個非確定性機器，都能被當成一個確定性的機器來用。你只要不使用它的“超能力”，在每個分支點只探索一條路徑就行。所以“P=NP?”問題的關鍵，就在於P是否也包含了NP。也就是說，如果只使用確定性計算機，能否在多項式時間之內，解決所有非確定性計算機能在多項式時間內解決的問題。

我們來細看一下什麼是多項式時間（Polynomial time）。我們都知道，$n^2$是多項式，$n^{1000000}$ 也是多項式。多項式與多項式之間，卻有天壤之別。把解決問題所需要的時間，用“多項式”這麼籠統的概念來描述，其實是非常不準確的做法。在實際的大規模應用中，$n^2$的演算法都嫌慢。能找到“多項式時間”的演算法，根本不能說明任何問題。對此，理論家們喜歡說，就算再大的多項式(比如 $n^{1000000}$)，也不能和再小的指數函式（比如 $1.0001^n$）相比。因為總是“存在”一個M，當n>M的時候，$1.0001^n$會超過$n^{1000000}$。可是問題的關鍵，卻不在於M的“存在”，而在於它的“大小”。如果你的輸入必須達到天文數字才能讓指數函式超過多項式的話，那麼還不如就用指數複雜度的演算法。所以，“P=NP?”這問題的錯誤就在於，它並沒有針對我們的實際需要，而是首先假設了我們有“無窮大”的輸入，有“無窮多”的時間和耐心，可以讓多項式時間的演算法“最終”得到優勢。

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