KMP演算法應該是每一本《資料結構》書都會講的，算是知名度最高的演算法之一了，但很可惜，我大二那年壓根就沒看懂過~~~

之後也在很多地方也都經常看到講解KMP演算法的文章，看久了好像也知道是怎麼一回事，但總感覺有些地方自己還是沒有完全懂明白。這兩天花了點時間總結一下，有點小體會，我希望可以通過我自己的語言來把這個演算法的一些細節梳理清楚，也算是考驗一下自己有真正理解這個演算法。

什麼是KMP演算法：

KMP是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同時發現的。其中第一位就是《計算機程式設計藝術》的作者！！

KMP演算法要解決的問題就是在字串（也叫主串）中的模式（pattern）定位問題。說簡單點就是我們平時常說的關鍵字搜尋。模式串就是關鍵字（接下來稱它為P），如果它在一個主串（接下來稱為T）中出現，就返回它的具體位置，否則返回-1（常用手段）。

首先，對於這個問題有一個很單純的想法：從左到右一個個匹配，如果這個過程中有某個字元不匹配，就跳回去，將模式串向右移動一位。這有什麼難的？

我們可以這樣初始化：

之後我們只需要比較i指標指向的字元和j指標指向的字元是否一致。如果一致就都向後移動，如果不一致，如下圖：

A和E不相等，那就把i指標移回第1位（假設下標從0開始），j移動到模式串的第0位，然後又重新開始這個步驟：

基於這個想法我們可以得到以下的程式：

 1 /**
 2 
 3  * 暴力破解法
 4 
 5  * @param ts 主串
 6 
 7  * @param ps 模式串
 8 
 9  * @return 如果找到，返回在主串中第一個字元出現的下標，否則為-1
10 
11  */
12 
13 public static int bf(String ts, String ps) {
14 
15     char[] t = ts.toCharArray();
16 
17     char[] p = ps.toCharArray();
18 
19     int i = 0; // 主串的位置
20 
21     int j = 0; // 模式串的位置
22 
23     while (i < t.length && j < p.length) {
24 
25        if (t[i] == p[j]) { // 當兩個字元相同，就比較下一個
26 
27            i++;
28 
29            j++;
30 
31        } else {
32 
33            i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i後退
34 
35            j = 0; // j歸0
36 
37        }
38 
39     }
40 
41     if (j == p.length) {
42 
43        return i - j;
44 
45     } else {
46 
47        return -1;
48 
49     }
50 
51 }

上面的程式是沒有問題的，但不夠好！（想起我高中時候數字老師的一句話：我不能說你錯，只能說你不對~~~）

如果是人為來尋找的話，肯定不會再把i移動回第1位，因為主串匹配失敗的位置前面除了第一個A之外再也沒有A了，我們為什麼能知道主串前面只有一個A？因為我們已經知道前面三個字元都是匹配的！（這很重要）。移動過去肯定也是不匹配的！有一個想法，i可以不動，我們只需要移動j即可，如下圖：

上面的這種情況還是比較理想的情況，我們最多也就多比較了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查詢“SSSSB”，比較到最後一個才知道不匹配，然後i回溯，這個的效率是顯然是最低的。

大牛們是無法忍受“暴力破解”這種低效的手段的，於是他們三個研究出了KMP演算法。其思想就如同我們上邊所看到的一樣：“利用已經部分匹配這個有效資訊，保持

所以，整個KMP的重點就在於當某一個字元與主串不匹配時，我們應該知道j指標要移動到哪？

接下來我們自己來發現j的移動規律：

如圖：C和D不匹配了，我們要把j移動到哪？顯然是第1位。為什麼？因為前面有一個A相同啊：

如下圖也是一樣的情況：

可以把j指標移動到第2位，因為前面有兩個字母是一樣的：

至此我們可以大概看出一點端倪，當匹配失敗時，j要移動的下一個位置k。存在著這樣的性質：最前面的k個字元和j之前的最後k個字元是一樣的。

如果用數學公式來表示是這樣的

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

這個相當重要，如果覺得不好記的話，可以通過下圖來理解：

弄明白了這個就應該可能明白為什麼可以直接將j移動到k位置了。

因為:

當T[i] != P[j]時

有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很無聊，能看明白就行了，不需要記住。

這一段只是為了證明我們為什麼可以直接將j移動到k而無須再比較前面的k個字元。

好，接下來就是重點了，怎麼求這個（這些）k呢？因為在P的每一個位置都可能發生不匹配，也就是說我們要計算每一個位置j對應的k，所以用一個數組next來儲存，next[j] = k，表示當T[i] != P[j]時，j指標的下一個位置。

很多教材或博文在這個地方都是講得比較含糊或是根本就一筆帶過，甚至就是貼一段程式碼上來，為什麼是這樣求？怎麼可以這樣求？根本就沒有說清楚。而這裡恰恰是整個演算法最關鍵的地方。

 1 public static int[] getNext(String ps) {
 2 
 3     char[] p = ps.toCharArray();
 4 
 5     int[] next = new int[p.length];
 6 
 7     next[0] = -1;
 8 
 9     int j = 0;
10 
11     int k = -1;
12 
13     while (j < p.length - 1) {
14 
15        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
16 
17            next[++j] = ++k;
18 
19        } else {
20 
21            k = next[k];
22 
23        }
24 
25     }
26 
27     return next;
28 
29 }

這個版本的求next陣列的演算法應該是流傳最廣泛的，程式碼是很簡潔。可是真的很讓人摸不到頭腦，它這樣計算的依據到底是什麼？

好，先把這個放一邊，我們自己來推導思路，現在要始終記住一點，next[j]的值（也就是k）表示，當P[j] != T[i]時，j指標的下一步移動位置。

先來看第一個：當j為0時，如果這時候不匹配，怎麼辦？

像上圖這種情況，j已經在最左邊了，不可能再移動了，這時候要應該是i指標後移。所以在程式碼中才會有next[0] = -1;這個初始化。

如果是當j為1的時候呢？

顯然，j指標一定是後移到0位置的。因為它前面也就只有這一個位置了~~~

下面這個是最重要的，請看如下圖：

請仔細對比這兩個圖。

我們發現一個規律：

當P[k] == P[j]時，

有next[j+1] == next[j] + 1

其實這個是可以證明的：

因為在P[j]之前已經有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

這時候現有P[k] == P[j]，我們是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。

即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

這裡的公式不是很好懂，還是看圖會容易理解些。

那如果P[k] != P[j]呢？比如下圖所示：

像這種情況，如果你從程式碼上看應該是這一句：k = next[k];為什麼是這樣子？你看下面應該就明白了。

現在你應該知道為什麼要k = next[k]了吧！像上邊的例子，我們已經不可能找到[ A，B，A，B ]這個最長的字尾串了，但我們還是可能找到[ A，B ]、[ B ]這樣的字首串的。所以這個過程像不像在定位[ A，B，A，C ]這個串，當C和主串不一樣了（也就是k位置不一樣了），那當然是把指標移動到next[k]啦。

有了next陣列之後就一切好辦了，我們可以動手寫KMP演算法了：

 1 public static int KMP(String ts, String ps) {
 2 
 3     char[] t = ts.toCharArray();
 4 
 5     char[] p = ps.toCharArray();
 6 
 7     int i = 0; // 主串的位置
 8 
 9     int j = 0; // 模式串的位置
10 
11     int[] next = getNext(ps);
12 
13     while (i < t.length && j < p.length) {
14 
15        if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 當j為-1時，要移動的是i，當然j也要歸0
16 
17            i++;
18 
19            j++;
20 
21        } else {
22 
23            // i不需要回溯了
24 
25            // i = i - j + 1;
26 
27            j = next[j]; // j回到指定位置
28 
29        }
30 
31     }
32 
33     if (j == p.length) {
34 
35        return i - j;
36 
37     } else {
38 
39        return -1;
40 
41     }
42 
43 }

和暴力破解相比，就改動了4個地方。其中最主要的一點就是，i不需要回溯了。

最後，來看一下上邊的演算法存在的缺陷。來看第一個例子：

顯然，當我們上邊的演算法得到的next陣列應該是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我們應該是把j移動到第1個元素咯：

不難發現，這一步是完全沒有意義的。因為後面的B已經不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同樣的情況其實還發生在第2個元素A上。

顯然，發生問題的原因在於P[j] == P[next[j]]。

所以我們也只需要新增一個判斷條件即可：

public static int[] getNext(String ps) {

    char[] p = ps.toCharArray();

    int[] next = new int[p.length];

    next[0] = -1;

    int j = 0;

    int k = -1;

    while (j < p.length - 1) {

       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {

           if (p[++j] == p[++k]) { // 當兩個字元相等時要跳過

              next[j] = next[k];

           } else {

              next[j] = k;

           }

       } else {

           k = next[k];

       }

    }

    return next;

} 

好了，至此。KMP演算法也結束了。

很奇怪，好像不是很難的東西怎麼就把我困住這麼久呢？

仔細想想還是因為自己太浮躁了，以前總是草草應付，很多細節都沒弄清楚，就以為自己懂了。結果就只能是似懂非懂的。要學東西真的需要靜下心來。